Дан треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Требуется построить треугольник \(\displaystyle ABD{\small ,}\) у которого угол при вершине \(\displaystyle A\) в два раза меньше, чем в исходном треугольнике, а сторона \(\displaystyle BD\) равна стороне \(\displaystyle BC\) исходного треугольника.
На рисунке, кроме исходного треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) четыре окружности и прямая, проведённые в ходе построения. Отмечены (но не подписаны) точки пересечения некоторых из них.
Центры окружностей расположены только в отмеченных точках.
Дополните описание этого построения вершины \(\displaystyle D\) треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\)
\(\displaystyle 1.\) Обеспечиваем два равных отрезка на сторонах угла, который собираемся делить пополам. Один из отрезков \(\displaystyle -\) сторона треугольника. Конец другого \(\displaystyle -\) точку \(\displaystyle K\) получаем на пересечении
|
\(\displaystyle 2.\) Одну из точек \(\displaystyle L\) биссектрисы получаем на пересечении двух окружностей
|
\(\displaystyle 3.\) Вершину искомого треугольника ищем на биссектрисе угла. Она также принадлежит окружности, образованной точками, удалёнными на нужное расстояние от вершины \(\displaystyle B{\small .}\) Выбираем в качестве вершины \(\displaystyle D\) одну из двух точек пересечения
|
Рассмотрим нужный нам треугольник.
Его вершина \(\displaystyle D\) принадлежит биссектрисе угла \(\displaystyle BAC{\small ,}\) так как в искомом треугольнике угол при вершине \(\displaystyle A\) является одной из двух равных частей угла исходного треугольника.
С другой стороны, равенство сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD\) означает, что точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) находятся на одинаковом расстоянии от вершины \(\displaystyle B{\small .}\) Значит, они обе принадлежат окружности с центром \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle BC{\small .}\)
Получается, что точку \(\displaystyle D\) можно найти на пересечении этой окружности с биссектрисой угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)
Приступаем к построению.
Для деления угла пополам сначала на его сторонах отмеряются равные отрезки. Это делается с помощью окружности с центром в вершине угла.
На рисунке только одна подходящая окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB{\small .}\) Она проходит через точу \(\displaystyle B\) стороны \(\displaystyle AB{\small ,}\) а на стороне \(\displaystyle AC\) откладывает отрезок, равный отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)
Заполняем первую строку таблицы описания построения, а полученную точку на стороне \(\displaystyle AC\) обозначаем, как написано в таблице, через \(\displaystyle K{\small .}\)
На рисунке находим две окружности с центрами \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle K\) и радиусами \(\displaystyle AB{\small .}\)
Заполняем параметрами этих окружностей вторую строку таблицы. Найденную точку пересечения обозначаем \(\displaystyle L{\small .}\)
Соединяя точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle L{\small ,}\) получим биссектрису угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)
Оставшаяся окружность с центром \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle BC\) как раз является необходимой.
Заполняем последнюю строку таблицы.
Точка \(\displaystyle D\) расположена на требуемом расстоянии от точки \(\displaystyle B\) и угол \(\displaystyle BAD\) равен половине угла \(\displaystyle BAC{\small ,}\) так как точка \(\displaystyle D\) принадлежит биссектрисе последнего.
Построение выполнено.
| Ответ: |  |