Обозначим количество вершин у многоугольника \(\displaystyle F_2\) за \(\displaystyle n\small.\) Тогда у многоугольника \(\displaystyle F_1\) \(\displaystyle (n-3)\) вершины.

Используя правило, выразим углы многоугольников \(\displaystyle F_1\) и \(\displaystyle F_2\) через \(\displaystyle n\small.\)

Получаем

• внутренние углы \(\displaystyle F_1\) равны \(\displaystyle \color{red}{\alpha}=\frac{180^{\circ}\cdot ((n-3)-2)}{n-3}=\frac{180^{\circ}\cdot(n-5)}{n-3}\small,\)
• внутренние углы \(\displaystyle F_2\) равны \(\displaystyle \color{red}{\beta}=\frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}\small.\)

Угол \(\displaystyle \alpha\) равен внешнему углу для \(\displaystyle \beta\small,\) тогда

\(\displaystyle \alpha=180^{\circ}-\beta{ \small ,}\)

откуда, подставляя выражения для \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta{\small ,} \)

\(\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-5)}{n-3}=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}\small.\) 

Преобразуем уравнение и найдем \(\displaystyle n\small.\)

Сначала избавимся от знаменателей, домножив левую и правую часть на  \(\displaystyle n(n-3)\small{:}\) 

\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-5)n=180^{\circ}\cdot n(n-3)-180^{\circ}\cdot(n-2)(n-3)\small.\)

Сократим левую и правую часть на \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)

\(\displaystyle (n-5)n=n(n-3)-(n-2)(n-3)\small.\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle n^2-5n=(n^2-3n)-(n^2-2n-3n+6)\small,\)

\(\displaystyle n^2-7n+6=0\small.\)

У многоугольника хотя бы три вершины, тогда

\(\displaystyle n=6\small.\)

Ответ: \(\displaystyle n=6\small.\)