Правильный многоугольник вписан в окружность. Его сторона длины \(\displaystyle 5\) стягивает дугу в \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\) Найдите количество вершинн многоугольника \(\displaystyle n\) и радиус этой окружности \(\displaystyle R\small.\)
Пусть центр окружности \(\displaystyle O\small.\) Тогда центральный угол \(\displaystyle AOB\) равен дуге, на которую опирается:
\(\displaystyle \angle AOB=60^{\circ}\small.\)
Тогда \(\displaystyle n\) равных углов с вершиной в \(\displaystyle O\) в сумме дают \(\displaystyle 360^{\circ}\small.\) То есть
\(\displaystyle 360^{\circ}=n\cdot\angle AOB\small.\)
Подставим известный нам угол \(\displaystyle \angle AOB=60^{\circ}\small{:}\)
\(\displaystyle 360^{\circ}=n\cdot60^{\circ}\small,\)
\(\displaystyle n=\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}}=6\small.\)
Зная длину стороны \(\displaystyle a_{6}=5\) правильного \(\displaystyle 6\)-угольника, найдем радиус описанной окружности.
Если \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности правильного \(\displaystyle n\)-угольника, а \(\displaystyle a_n\) – длина его стороны, то
\(\displaystyle a_n=2R\cdot \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle 5=a_{6}=2R\cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)=2R\cdot \sin30^{\circ}=R\small.\)
То есть радиус окружности \(\displaystyle R=5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle n=6\) и \(\displaystyle R=5\small.\)