Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь:
Воспользуемся правилом:
Деление алгебраических дробей
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную ко второй.
То есть для дробей \(\displaystyle \frac{a}{b}\) и \(\displaystyle \frac{c}{d}\) справедливо:
\(\displaystyle \frac{a}{b}:\color{red}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\color{red}{\frac{d}{c}}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{x^2+4x+4}{x^2-14x+49}: \frac{x^2-4}{4x-28}=\frac{x^2+4x+4}{x^2-14x+49}\cdot \frac{4x-28}{x^2-4}=\frac{(x^2+4x+4)\cdot (4x-28)}{(x^2-14x+49)\cdot (x^2-4)}{\small .}\)
Чтобы сократить дробь, разложим выражения в числителе и знаменателе на множители:
- \(\displaystyle \color{blue}{x^2+4x+4}=x^2+2\cdot 2\cdot x+2^2=\color{blue}{(x+2)^2}\small,\)
- \(\displaystyle \color{0099ff}{4x-28=4(x-7)}\small,\)
- \(\displaystyle \color{green}{x^2-14x+49}=x^2-2\cdot 7\cdot x+7^2=\color{green}{(x-7)^2}\small,\)
- \(\displaystyle \color{purple}{x^2-4=(x-2)(x+2)}{\small .}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(x^2+4x+4)}\cdot \color{0099ff}{(4x-28)}}{\color{green}{(x^2-14x+49)}\cdot\color{purple}{ (x^2-4)}}= \frac{\color{blue}{(x+2)^2} \cdot \color{0099ff}{4(x-7)}}{{\color{green}{(x-7)^2}}\cdot\color{purple}{(x-2)(x+2)}} = \frac{\color{blue}{4(x+2)^2} \color{0099ff}{(x-7)}}{{\color{green}{(x-7)^2}}\color{purple}{(x-2)(x+2)}}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{4(x+2)^2 (x-7)}{{(x-7)^2}(x-2)(x+2)} = \frac{4(x+2)}{(x-2)(x-7)}\small. \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{4(x+2)}{(x-2)(x-7)} \small.\)