Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Применение правила деления дробей для преобразования выражений (короткая версия)

Задание

Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь:
 

\(\displaystyle \frac{x^2+5xy-2x-10y}{x^2-25y^2}: \frac{x^2-4}{x-5y}=\)
\frac{1}{x+2}
Решение

Воспользуемся правилом.

Правило

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную ко второй.

То есть для дробей \(\displaystyle \frac{a}{b}\) и \(\displaystyle \frac{c}{d}\) справедливо:

\(\displaystyle \frac{a}{b}:\color{red}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\color{red}{\frac{d}{c}}\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}& \frac{x^2+5xy-2x-10y}{x^2-25y^2}: \frac{x^2-4}{x-5y} =\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad=\frac{x^2+5xy-2x-10y}{x^2-25y^2}\cdot \frac{x-5y}{x^2-4} =\\ \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad =\frac{(x^2+5xy-2x-10y)\cdot (x-5y)}{(x^2-25y^2)\cdot (x^2-4)}{\small .}\end{aligned} \)


Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители.

\(\displaystyle \,\)•\(\displaystyle \color{blue}{x^2+5xy-2x-10y=\color{blue}{(x+5y)}\color{green}{(x-2)}\small,} \)

  • \(\displaystyle \color{#3399ff}{x^2-25y^2}=x^2-(5y)^2=\color{#3399ff}{(x-5y)(x+5y)}\small,\)

 

  • \(\displaystyle \color{#cc00cc}{x^2-4}=\color{#cc00cc}{(x-2)(x+2)}{\small .}\)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(x^2+5xy-2x-10y)}\cdot (x-5y)}{\color{#3399ff}{(x^2-25y^2)}\cdot \color{#cc00cc}{(x^2-4)}}= \frac{\color{blue}{(x+5y)}\color{green}{(x-2)}(x-5y)}{\color{#3399ff}{(x-5y)(x+5y)}\color{#cc00cc}{(x-2)(x+2)}} {\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{{\cancel{\color{blue}{(x+5y)}}}\cancel{\color{green}{(x-2)}}\cancel{\color{#cc00cc}{(x-5y)}}}{{\cancel{\color{#cc00cc}{(x-5y)}}\cancel{\color{blue}{(x+5y)}}\cancel{\color{green}{(x-2)}}}(x+2)}=\frac{1}{x+2} {\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{x+2} \small.\)