Из трёх углов треугольника \(\displaystyle ABC\) известны величины двух.
Дополните таблицу, возможных значений величины третьего угла.
| \(\displaystyle \textcolor{red}{\Large\alpha}\) | \(\displaystyle \textcolor{red}{\Large\beta}\) | \(\displaystyle \textcolor{red}{\Large\gamma}\) |
| \(\displaystyle 60\degree \) | \(\displaystyle 40\degree \) | \(\displaystyle \degree \) |
| \(\displaystyle 59\degree \) | \(\displaystyle \degree \) | \(\displaystyle 82\degree \) |
| \(\displaystyle \degree \)\(\displaystyle '\) | \(\displaystyle 40\degree \) | \(\displaystyle 81\degree 40'\) |
| \(\displaystyle 60\degree 30'\) | \(\displaystyle 40\degree 30'\) | \(\displaystyle \degree \) |
| \(\displaystyle \degree \)\(\displaystyle '\) | \(\displaystyle 39\degree 40'\) | \(\displaystyle 78\degree 30'\) |
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree\!\!\!{\small .}\)
Чтобы доказать это равенство, проведём через вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне.
При этом образуется развёрнутый угол, вершина которого совпадает с вершиной треугольника. Его величина равна \(\displaystyle 180\degree\!\!\! {\small .}\)
Замечаем, что этот угол составлен из трёх частей. Одна из них \(\displaystyle -\) угол треугольника. Две другие равны двум другим углам треугольника как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущими, содержащими стороны треугольника.
Поскольку величина угла складывается из величин составляющих его частей,
\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180\degree\!\!\!{\small .} \)
Основное применение этой теоремы \(\displaystyle -\) выражение величины неизвестного угла треугольника через величины известных.
Чтобы найти величину угла треугольника, нужно вычесть из \(\displaystyle 180\degree \) сумму величин других его углов:
\(\displaystyle \alpha=180\degree -\beta-\gamma{\small .}\)
Последовательно выполняем вычитание для каждой строки таблицы.
\(\displaystyle 1{\small .}~~~~\gamma=180\degree -\alpha-\beta=180\degree -60\degree -40\degree =\)\(\displaystyle 80\degree{\small .} \)
\(\displaystyle 2{\small .}~~~~\beta=180\degree -\alpha-\gamma=180\degree -59\degree-82\degree=\)\(\displaystyle 39\degree{\small .}\)
\(\displaystyle 3{\small .}~~~~\alpha=180\degree -\beta-\gamma=180\degree -40\degree-81\degree40'=\)\(\displaystyle 58\degree20'{\small .}\)
\(\displaystyle 4{\small .}~~~~\gamma=180\degree -\alpha-\beta=180\degree -60\degree30'-40\degree30'=\)\(\displaystyle 79\degree{\small .}\)
\(\displaystyle 5{\small .}~~~~\alpha=180\degree -\beta-\gamma=180\degree -39\degree40'-78\degree30'=\)\(\displaystyle 61\degree50'{\small .}\)
| Ответ: |  |