Величины внешних углов треугольника при двух его вершинах равны \(\displaystyle 82\degree \) и \(\displaystyle 119\degree {\small .}\)
Какова величина внешнего угла этого треугольника при третьей его вершине?
\(\displaystyle \degree \)
Чтобы легче ориентироваться в условиях задачи, сделаем рисунок и обозначим вершины и величины внешних углов треугольника.
Пусть \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\) обозначения величин данных в условии углов: \(\displaystyle \alpha=82\degree {\small ,\;}\beta=119\degree {\small .}\)
Найти следует величину \(\displaystyle \gamma\) внешнего угла треугольника при третьей вершине.
Поскольку угол \(\displaystyle BAC\) образует пару смежных с углом величиной \(\displaystyle \alpha{\small ,}\) найдём его величину как разность \(\displaystyle 180\degree \) и \(\displaystyle \alpha{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BAC=180\degree -\alpha=180\degree -82\degree =98\degree {\small .}\)
Поскольку угол \(\displaystyle ABC\) образует пару смежных с углом величиной \(\displaystyle \beta{\small ,}\) найдём его величину как разность \(\displaystyle 180\degree \) и \(\displaystyle \beta{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ABC=180\degree -\beta=180\degree -119\degree =61\degree {\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух не смежных с ним углов треугольника.
На рисунке величины углов треугольника обозначены через \(\displaystyle \alpha{\small ,\;}\beta\) и \(\displaystyle \gamma{\small .}\) Рассмотрим внешний угол треугольника величиной \(\displaystyle \delta{\small .}\)
Если к сумме \(\displaystyle \alpha+\beta\) добавить величину \(\displaystyle \gamma{ \small ,}\) то по теореме о сумме углов треугольника получится \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Если ту же величину \(\displaystyle \gamma\) добавить к величине \(\displaystyle \delta{\small ,}\) то также получится \(\displaystyle 180\degree \) (\(\displaystyle \gamma\) и \(\displaystyle \delta~-\) величины смежных углов).
Значит, добавлялась величина \(\displaystyle \gamma\) к равным величинам:
\(\displaystyle \delta=\alpha+\beta{\small .}\)
Находим величину внешнего угла при вершине \(\displaystyle C\) как сумму величин углов треугольника при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\text :}\)
\(\displaystyle \gamma=\angle BAC+\angle ABC=98\degree +61\degree =159\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 159\degree {\small .}\)