Меньший из трёх углов треугольника имеет величину \(\displaystyle \alpha=50\degree {\small .}\)
Какие значения может принимать величина \(\displaystyle \gamma\) большего угла треугольника?
Дайте точную оценку.
\(\displaystyle \degree~ \leqslant~\gamma\leqslant~\)\(\displaystyle \degree \)
Пусть величины углов рассматриваемого треугольника обозначены через \(\displaystyle \alpha{\small ,\;}\beta\) и \(\displaystyle \gamma\) и упорядочены по возрастанию:
\(\displaystyle \alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma{\small .}\)
Сумма величин углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree \)
Запишем это в виде равенства для нашего треугольника:
\(\displaystyle 50\degree +\beta+\gamma=180\degree {\small .}\)
Выразим из этого равенства величину большего угла:
\(\displaystyle \gamma=130\degree -\beta{\small .}\)
Из полученного равенства следует, что чем меньше величина \(\displaystyle \beta{\small ,}\) тем больше величина \(\displaystyle \gamma{\small .}\)
Величина \(\displaystyle \beta\) не может быть меньше \(\displaystyle 50\degree {\small ,}\) так как по условию \(\displaystyle 50\degree -\) величина меньшего из углов треугольника.
То есть \(\displaystyle \beta\geqslant 50\degree {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \gamma\leqslant 130\degree -50\degree =80\degree {\small .}\)
Воспользуемся неравенством \(\displaystyle \beta\leqslant\gamma{\small .}\)
Ранее рассмотренное равенство \(\displaystyle \gamma=130\degree -\beta\) перепишем в виде
\(\displaystyle \beta=130\degree -\gamma{\small .}\)
Подставим это выражение для \(\displaystyle \beta\) в неравенство \(\displaystyle \beta\leqslant\gamma{\text :}\)
\(\displaystyle 130\degree -\gamma\leqslant\gamma{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \gamma\geqslant\frac{130\degree }{2}=65\degree {\small .}\)
Рассмотрим угол величиной \(\displaystyle 50\degree \) с вершиной \(\displaystyle A\) и точку \(\displaystyle B\) на одной из его сторон.
От луча \(\displaystyle BA\) отложим два угла величинами \(\displaystyle 50\degree \) и \(\displaystyle 65\degree \) в полуплоскость, где проходит вторая сторона угла.
На этой стороне при этом появятся точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Пусть вершина \(\displaystyle F\) треугольника \(\displaystyle ABF\) принадлежит отрезку \(\displaystyle CD{\small .}\)
Тогда величина угла при вершине \(\displaystyle B\) этого треугольника принимает любое значение от \(\displaystyle 50\degree \) до \(\displaystyle 65\degree {\small .}\)
При этом величина \(\displaystyle \gamma\) угла при вершине \(\displaystyle F\) принимает любое из значений от \(\displaystyle 65\degree \) до \(\displaystyle 80\degree \) (включая концы) и остаётся большим углом треугольника \(\displaystyle ABF{\small .}\) В то же время угол этого треугольника при вершине \(\displaystyle A\) сохраняет меньшую из трёх величину \(\displaystyle 50\degree{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 65\degree \leqslant\beta\leqslant 80\degree{\small .} \)