Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 10 Задачи на площади круга, сектора и сегмента

Задание

На рисунке каждая из трех окружностей проходит через центр двух остальных. Найдите площадь красной фигуры, если радиусы проведенных окружностей равны \(\displaystyle 1\small.\)

\(\displaystyle S=\)
\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}
Решение

Обозначим центры окружностей \(\displaystyle O_1,\,O_2,\,O_3\small.\)

Разобьем красную фигуру на части, площадь которых несложно вычислить.

Проведем отрезки \(\displaystyle O_1O_2O_3\small.\)

Красная фигура состоит из:

  • правильного треугольника со стороной \(\displaystyle 1\small,\)
  • трех сегментов окружности радиуса \(\displaystyle 1\small,\) ограниченных дугами в \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\)

Чтобы решить задачу:

  • найдем площадь треугольника \(\displaystyle O_1O_2O_3\small,\)
  • найдем площадь сегмента,
  • найдем площадь красной фигуры.

    1. Площадь треугольника \(\displaystyle O_1O_2O_3\) равна

    \(\displaystyle S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)

    2. Площадь сегмента окружности с центром в \(\displaystyle O_1\small,\) ограниченного дугой \(\displaystyle O_2O_3{ \small ,}\) равна

    \(\displaystyle S_{сегмента}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)

    3. Площадь красной фигуры равна:

    \(\displaystyle S=S_{\triangle}+3S_{сегмента}=\frac{\sqrt{3}}{4}+3\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}\small.\)


    Ответ: \(\displaystyle S=\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}\small.\)