Чтобы найти площадь красной фигуры, найдем площадь оставшейся части квадрата. Чтобы найти площадь незакрашенной части квадрата, разобьем ее на части. Обозначим точки на картинке. Проведем отрезки \(\displaystyle AX\) и \(\displaystyle DX\small.\) Тогда незакрашенная часть состоит из двух секторов и треугольника. Последовательно найдем площади этих фигур. |  |
1. Треугольник \(\displaystyle AXD\) равносторонний и его площадь равна\(\displaystyle S_{\triangle AXD}=\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)
По условию сторона квадрата равна \(\displaystyle 1\small.\) Отрезки \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AX\) радиусы окружности с центром в \(\displaystyle A\small,\) значит, \(\displaystyle AX=AD=1\small.\) Отрезки \(\displaystyle DA\) и \(\displaystyle DX\) радиусы окружности с центром в \(\displaystyle D\small,\) значит, \(\displaystyle DX=DA=1\small.\) То есть \(\displaystyle AXD\) равносторонний треугольник со стороной \(\displaystyle 1\small.\) Все углы равностороннего треугольника равны \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\) А площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними: \(\displaystyle S_{AXD}=\frac{AX\cdot AD\cdot \sin60^{\circ}}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\) |  |
2. Площади секторов \(\displaystyle ABX\) и \(\displaystyle DCX\) равны\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi}{12}\small.\)
ПравилоПлощадь сектора круга равна
\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha\small,\)
где \(\displaystyle R\) – радиус круга, \(\displaystyle \alpha^{\circ}\) – градусная мера дуги, ограничивающей сектор.
Рассмотрим сектор \(\displaystyle ABX\small.\) Это часть окружности радиуса \(\displaystyle AB=1\small.\) Угол квадрата \(\displaystyle BAD\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}\small.\) А угол правильного треугольника \(\displaystyle XAD\) равен \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\) Тогда \(\displaystyle \angle BAX=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\small.\) И градусная мера дуги \(\displaystyle BX\) равна \(\displaystyle 30\small.\) Подставляя в формулу площади сектора полученные значения, находим площадь сектора \(\displaystyle ABX{\small:}\) \(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi \cdot1^2}{360}\cdot30=\frac{\pi}{12}\small.\) Площадь сектора \(\displaystyle DXC\) вычисляется аналогично и равна тому же значению. |  |
3. Тогда площадь незакрашенной части квадрата равна
\(\displaystyle S_{незакрашенной\,части}=S_{сектора\,ABX}+S_{сектора\,DCX}+S_{\triangle AXD}\small.\)
Подставляя найденные значения, получаем:
\(\displaystyle S_{незакрашенной\,части}=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)
4. Площадь квадрата \(\displaystyle ABCD\) равна:
\(\displaystyle S_{ABCD}=AB^2=1^2=1\small.\)
Тогда площадь красной части равна:
\(\displaystyle S_{красной\,фигуры}=S_{ABCD}-S_{незакрашенной\,части}=1-\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=1-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_{красной\,фигуры}=1-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\small.\)
