Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Поскольку дуги \(\displaystyle MA\) и \(\displaystyle NB\) равны, то равны и вписанные углы:

\(\displaystyle \angle NMB=\angle MBA\small.\)

Тогда для прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN\) и секущей \(\displaystyle MB\) накрест лежащие углы равны.

То есть прямые \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AB\) параллельны.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание:

\(\displaystyle S_{\triangle}=\frac{ah}{2}\small.\)

У треугольников \(\displaystyle MAB\) и \(\displaystyle OAB\) общее основание \(\displaystyle AB\small.\)

Прямые \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AB\) параллельны. Тогда перпендикуляры на прямую \(\displaystyle AB\) из точек на прямой \(\displaystyle MN\) равны:

\(\displaystyle MH_1=OH_2\small.\)

Таким образом, площади треугольников \(\displaystyle MAB\) и \(\displaystyle OAB\) равны:

\(\displaystyle S_{MAB}=\frac{AB\cdot MH_1}{2}=\frac{AB\cdot OH_2}{2}=S_{OAB}\small.\)

Для вычисления площади сектора необходимо знать радиус \(\displaystyle R\) и градусную меру дуги \(\displaystyle \alpha{\small:}\)

\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha\small.\) 

Радиус по условию равен \(\displaystyle 1\small.\)

Градусная мера половины окружности составляет \(\displaystyle 180^{\circ}\small.\)

Тогда градусная мера дуги \(\displaystyle AB\) равна \(\displaystyle \frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}\small.\)

Тогда площадь сектора \(\displaystyle AOB\) равна:

\(\displaystyle S_{AOB}=\frac{\pi \cdot1^2}{360}\cdot60=\frac{\pi}{6}\small.\)