Если окружности касаются, то точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. Тогда отметим точки касания и проведем отрезки, соединяющие центры окружностей. Картинка симметрична относительно серединного перпендикуляра к отрезку \(\displaystyle AB\small.\)

Тогда точки \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E\) должны лежать на этом серединном перпендикуляре. То есть \(\displaystyle OE\) и есть серединный перпендикуляр к отрезку \(\displaystyle AB\small.\)

Выразим все стороны прямоугольного треугольника \(\displaystyle MEO\) через \(\displaystyle r{\small:}\)

• \(\displaystyle ME=MX+XE=3+r\small,\)
• \(\displaystyle OE=OZ-EZ=6-r\small,\)
• \(\displaystyle OM=3\small.\)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \(\displaystyle MEO{\small:}\)

\(\displaystyle ME^2=OE^2+MO^2\small.\)

Подставим полученные значения и найдем \(\displaystyle r{\small:}\)

\(\displaystyle (3+r)^2=(6-r)^2+3^2\small,\)

\(\displaystyle 9+6r+\cancel{r^2}=36-12r+\cancel{r^2}+9\small,\)

\(\displaystyle 18r=36\small,\)

\(\displaystyle r=2\small.\)

Радиус круга с центром в \(\displaystyle O\) равен \(\displaystyle 6\small,\) тогда его площадь равна

\(\displaystyle S=\pi\cdot6^2=36\pi\small.\)

Площадь полукруга в два раза меньше, то есть равна

\(\displaystyle S_{O}=\frac{36\pi}{2}=18\pi\small.\)

Радиус круга с центром в \(\displaystyle M\) равен \(\displaystyle 3\small,\) тогда его площадь равна

\(\displaystyle S=\pi\cdot3^2=9\pi\small.\)

Площадь полукруга в два раза меньше, то есть равна

\(\displaystyle S_{M}=\frac{9\pi}{2}\small.\)

Круг с центром в \(\displaystyle N\) имеет такой же радиус, значит,

\(\displaystyle S_{M}=S_{N}=\frac{9\pi}{2}\small.\)

Радиус круга с центром в \(\displaystyle E\) равен \(\displaystyle 2\small,\) тогда его площадь равна

\(\displaystyle S_{E}=\pi\cdot2^2=4\pi\small.\)