Стороны \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) параллельны.
На стороне \(\displaystyle AB\) отмечена точка \(\displaystyle E{\small ,}\) которая разделила сторону на отрезки, равные смежным с ней сторонам.
Дополните доказательство перпендикулярности отрезков \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle DE{\small .}\)
Проведём через точку \(\displaystyle E\) прямую, параллельную прямой \(\displaystyle BC{\small .}\) Её точку пересечения с отрезком \(\displaystyle CD\) обозначим \(\displaystyle F{\small .}\)
\(\displaystyle 1{\small .}~~\begin{cases}~~~EF\parallel BC\\ ~~~AD\parallel BC\end{cases}~~~~~~~{\LARGE\Rightarrow}~~~\begin{matrix} \\EF\parallel AD\\{\scriptsize\it~~~ (две~прямые~параллельны~третьей)}\end{matrix}\)
| \(\displaystyle 2{\small .}~~ \begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases} \) | \(\displaystyle {\scriptsize\it ~~~(углы~при~основании~равнобедренного~треугольника)}\) | \(\displaystyle \Large\Rightarrow\) | \(\displaystyle \angle DEF=\angle AED\) | |
\(\displaystyle \angle ADE=\) \(\displaystyle {\scriptsize\it~~~(накрест~лежащие~углы~при~параллельных~ прямых)}\) |
| \(\displaystyle 3{\small .}~~ \begin{cases} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{cases} \) | \(\displaystyle \angle BCE=\) \(\displaystyle {\scriptsize\it ~~~(углы~при~основании~равнобедренного~треугольника)}\) | \(\displaystyle \Large\Rightarrow\) | \(\displaystyle \angle CEF=\angle BEC\) | |
\(\displaystyle {\scriptsize\it~~~ (накрест~лежащие~углы~при~параллельных~ прямых)}\) |
| \(\displaystyle 4{\small .}~~\angle AED+\angle DEF+\angle BEC+\angle CEF=180\degree\) | \(\displaystyle \Large\Rightarrow\) | \(\displaystyle \angle DEF+\angle CEF=90\degree\) |
| \(\displaystyle {\scriptsize\it (сумма~величин~частей~развёрнутого~угла)}\) |
Восстановим доказательство по пунктам, последовательно заполняя пропуски.
Прямая проходит через точку \(\displaystyle E{\small ,}\) параллельна стороне \(\displaystyle BC{\small ,}\) и пересекает отрезок \(\displaystyle CD\) в точке \(\displaystyle F{\small .}\)
По условию прямая \(\displaystyle AD\) также параллельна прямой \(\displaystyle BC{\small .}\)
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Таким образом на рисунке три праллельные прямые: \(\displaystyle AD{\small ,\;}EF\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
Рассмотрим параллельные прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle EF{\small .}\)
Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.
Один из нужных нам углов образует при рассматриваемых параллельных прямых пару накрест лежащих с углом \(\displaystyle ADE{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ADE=\angle DEF{\small .}\)
В свою очередь угол \(\displaystyle ADE\) является одним из углов при основании равнобедренного треугольника \(\displaystyle ADE{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит, \(\displaystyle \angle ADE=\angle AED{\small .}\)
Таким образом, углы \(\displaystyle AED\) и \(\displaystyle DEF\) равны из-за двух указанных равенств:
\(\displaystyle \angle AED=\angle ADE=\angle DEF{\small .}\)
Заполняем пропуски во втором пункте.
Рассмотрим параллельные прямые \(\displaystyle EF\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.
Один из нужных нам углов образует при рассматриваемых параллельных прямых пару накрест лежащих с углом \(\displaystyle BCE{\text :}\)
\(\displaystyle \angle CEF=\angle BCE{\small .}\)
В свою очередь угол \(\displaystyle BCE\) является одним из углов при основании равнобедренного треугольника \(\displaystyle BCE{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит, \(\displaystyle \angle BCE=\angle BEC{\small .}\)
Таким образом, углы \(\displaystyle BEC\) и \(\displaystyle CEF\) равны из-за двух указанных равенств:
\(\displaystyle \angle BEC=\angle BCE=\angle CEF{\small .}\)
Заполняем пропуски в третьем пункте.
Величина развёрнутого угла \(\displaystyle AEB\) равна \(\displaystyle 180\degree \) и складывается из величин четырёх его частей:
\(\displaystyle \angle AED+\angle DEF+\angle BEC+\angle CEF=180\degree{\small .}\)
Если в этом равенстве заменить углы \(\displaystyle AED\) и \(\displaystyle BEC\) соответственно равными им углами \(\displaystyle DEF\) и \(\displaystyle CEF{\small ,}\) то получится:
\(\displaystyle 2\cdot\angle DEF+2\cdot\angle CEF=180\degree{\small .}\)
Разделив это равенство на два, получаем, что угол \(\displaystyle CED\) прямой:
\(\displaystyle \angle CED=\angle DEF+\angle CEF=90\degree {\small .}\)
Это и означает перпендикулярность прямых \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle DE{\small .}\)
| Ответ: |  |