Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle AKL\) величина угла при вершине \(\displaystyle L\) составит:

\(\displaystyle \angle ALK=180\degree -\angle KAL-\angle AKL=180\degree -\alpha-\beta{\small .}\)

Расстояние между двумя точками измеряется длиной отрезка с концами в этих точках.

Значит, требуется чтобы длина отрезка \(\displaystyle KL\) была не больше длин каждого из отрезков \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle AL{\small .}\)

Запишем это в виде двух неравенств:

\(\displaystyle KL\leqslant AL\)      и      \(\displaystyle KL\leqslant AK{\small .}\)
 

Если длина одной из сторон треугольника не превосходит длины другой, то расположенный напротив неё угол по величине не превосходит угла, расположенного напротив второй стороны.

Это позволяет перейти от неравенств для сторон треугольника к неравенствам величин противолежащих им углов:

\(\displaystyle \alpha\leqslant \beta\)      и      \(\displaystyle \alpha\leqslant 180\degree -\alpha-\beta{\small .}\)
 

Во втором неравенстве перенесём в левую часть величину \(\displaystyle \beta{\small ,}\) а величину \(\displaystyle \alpha\) перенесём в правую:

\(\displaystyle \alpha\leqslant \beta\)      и      \(\displaystyle \beta\leqslant 180\degree -2\cdot\alpha{\small .}\)

Перепишем это в виде двойного неравенства:

\(\displaystyle \alpha\leqslant \beta\leqslant 180\degree -2\cdot\alpha{\small .}\)

Подставляя известную величину \(\displaystyle \alpha=39\degree{ \small ,} \) получим двойное неравенство:

\(\displaystyle 39\degree \leqslant \beta\leqslant 102\degree{\small .}\)

Полученное неравенство является обязательным условием для выполнения требований задачи. 

Рассмотрим произвольную точку \(\displaystyle K\) на одной из сторон угла величиной \(\displaystyle \alpha=39\degree \) с вершиной в точке \(\displaystyle A{\small .}\)

Пусть величина \(\displaystyle \beta\) удовлетворяет условиям \(\displaystyle \beta\geqslant 39\degree \) и \(\displaystyle \beta\leqslant102\degree {\small .}\) Отложим угол этой величины от луча \(\displaystyle KA\) в сторону внутренней области исходного угла.  Обозначим через \(\displaystyle L\) точку пересечения вторых сторон отложенного и исходного углов.

Получили треугольник \(\displaystyle AKL{\small .}\) 

В нём угол при вершине \(\displaystyle K\) не меньше угла при вершине \(\displaystyle A{ \small ,}\) так как \(\displaystyle \beta\geqslant 39\degree{\small .}\) Значит, сторона \(\displaystyle KL\) не длиннее стороны \(\displaystyle AL{\small .}\)

Величина угла при вершине \(\displaystyle L\) выражается через \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta:\)

\(\displaystyle \angle ALK=180\degree -\angle KAL-\angle AKL=180\degree -39\degree -\beta=141\degree -\beta{\small .}\)

Поскольку величина \(\displaystyle \beta\) не превосходит \(\displaystyle 102\degree {\small ,}\) этот угол имеет величину не меньшую, чем \(\displaystyle 141\degree -102\degree =39\degree {\small .}\)

То есть угол при вершине \(\displaystyle L\) не больше угла при вершине \(\displaystyle A\). Значит, сторона \(\displaystyle KL\) не превосходит по длине и сторону \(\displaystyle AK{\small .}\)

Оба требования условия выполнены.