В треугольнике \(\displaystyle ABC\) сторона \(\displaystyle AC\) короче стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)
Проведена медиана \(\displaystyle CM{\small .}\) Величины углов, которые она образует со сторонами \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC{\small ,}\) обозначены соответственно через \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)
Требуется сравнить величины \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)
Для этого следует сделать так, чтобы углы с этими величинами стали углами одного треугольника. В таком треугольнике должно быть известно, какая из противолежащих этим углам сторон короче другой.
Дополните предложенными фрагментами рассуждение, которое позволяет реализовать эту идею.
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | На продолжении медианы \(\displaystyle CM\) за точку \(\displaystyle M\) отложим отрезок \(\displaystyle MD{\small ,}\) равный отрезку \(\displaystyle CM{\small .}\) |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) |
Восстановим доказательство, последовательно подбирая необходимые фрагменты из предложенных.
Дополним рисунок отрезком \(\displaystyle BD\) и рассмотрим треугольники \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM{\small .}\)
Эти треугольники имеют две пары равных сторон, прилежащих к равным углам:
\(\displaystyle \begin{cases} ~AM=BM ~~{\footnotesize\it (по~определению~медианы)}\\ ~CM=DM~~{\footnotesize\it (по~построению)}\\ ~\angle AMC=\angle BMD~~{\footnotesize\it (вертикальные~углы)}\end{cases}\)
Этот набор равных элементов позволяет применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Значит, треугольники \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) равны по первому признаку.
Находим два правильных фрагмента для заполнения второй и третьей строк:
- в первом описывается набор трёх пар равных элементов (обратим внимание на обоснования равенства в каждой паре);
- во втором делается вывод о равенстве треугольников \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) (проверяем номер признака и правильное описание условий его применения).
В равных треугольниках равны стороны, расположенные напротив равных углов, и углы, расположенные напротив равных сторон.
Равенство треугольников \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BDM\) означает, что:
- углы \(\displaystyle ACD\) и \(\displaystyle BDC\) равны, так как расположены напротив равных сторон \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM{\text ;}\) оба угла имеют величину \(\displaystyle \alpha{\text ;}\)
- стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) равны, так как расположены напротив равных (вертикальных) углов.
Для заполнения четвёртой и пятой строк подбираем фрагменты с этими выводами о равенстве элементов равных треугольников.
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BCD{\small .}\)
Сторона \(\displaystyle BC\) длиннее стороны \(\displaystyle BD{\small ,}\) так как последняя равна отрезку \(\displaystyle AC{\small .}\) А он по условию короче отрезка \(\displaystyle BC{\small .}\) Это рассуждение описано в уже отобранном для пятой строки ответа фрагменте.
Величины углов, расположенных в треугольнике \(\displaystyle BCD\) напротив сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD{\small ,}\) как раз являются сравниваемыми величинами \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)
Если одна сторона треугольника больше другой, то напротив неё расположен больший (из двух) угол.
Значит, величина \(\displaystyle \alpha\) больше величины \(\displaystyle \beta{\small .}\)
Заканчиваем заполнение пропусков фрагментом с этим выводом.
| Ответ: |  |