В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) стороны \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD\) равны, а сторона \(\displaystyle AD\) в два раза длиннее стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
Известны величины углов при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small : }\)
\(\displaystyle \angle ABC=136\degree {\small ,\;}~~~\angle BCD=88\degree {\small .}\)
Найдите величину угла при вершине \(\displaystyle D{\small .}\)
\(\displaystyle \angle ADC=\)\(\displaystyle \degree \)
Соединим отрезком вершины \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Рассмотрим полученный равнобедренный треугольник \(\displaystyle CBD\) с основанием \(\displaystyle BD{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree{\small .} \)
Найдём сумму величин углов при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) треугольника \(\displaystyle BCD\) вычитанием величины угла при вершине \(\displaystyle C\) из \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \angle BDC+\angle CBD=180\degree -\angle BCD=180\degree -88\degree =92\degree {\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит, величина каждого из углов \(\displaystyle BDC\) и \(\displaystyle CBD\) равна половине вычисленной суммы:
\(\displaystyle \angle BDC=\angle CBD=\frac{\,92\degree }{2}=46\degree {\small .}\)
Угол \(\displaystyle ABC\) и его часть \(\displaystyle CBD\) имеют известные нам величины:
\(\displaystyle \angle ABC=136\degree {\small ,\;}~~\angle CBD=46\degree{\small .} \)
Угол \(\displaystyle ABD\) является второй частью угла \(\displaystyle ABC{\small ,}\) составляющей его вместе с углом \(\displaystyle CBD{\small .}\)
Найдём его величину как разность величин угла \(\displaystyle ABC\) и его известной части:
\(\displaystyle \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=136\degree -46\degree =90\degree {\small .}\)
Получается, что треугольник \(\displaystyle ABD\) прямоугольный.
По условию отрезок \(\displaystyle AB\) в два раза короче отрезка \(\displaystyle AD{\small .}\)
В треугольнике \(\displaystyle ABD\) эти отрезки являются катетом и гипотенузой.
Если катет прямоугольного треугольника в два раза больше гипотенузы, то напротив него расположен угол треугольника величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Значит, величина угла при вершине \(\displaystyle D\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD\) равна \(\displaystyle 30\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \angle ADB=30\degree {\small .}\)
Угол \(\displaystyle ADC\) составлен из частей \(\displaystyle ADB\) и \(\displaystyle BDC{\small ,}\) величины которых найдены:
\(\displaystyle \angle ADB=30\degree {\small ,\;}~~\angle BDC=46\degree{\small .} \)
Найдём величину угла как сумму величин составляющих его частей:
\(\displaystyle \angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=30\degree +46\degree =76\degree {\small .}\)
Ответ \(\displaystyle \angle ADC=76\degree {\small .}\)