В треугольнике \(\displaystyle ABC\) величины углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) равны соответственно \(\displaystyle 30\degree \) и \(\displaystyle 45\degree {\small .}\)
Высота, проведённая из третьей вершины, опускается в точку \(\displaystyle H\) стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
Длина стороны \(\displaystyle AC\) составляет \(\displaystyle 87\,{\footnotesize\it см}{\small .}\)
Выразите в миллиметрах длину отрезка \(\displaystyle BH{\small .}\)
\(\displaystyle BH=\)\(\displaystyle \,{\footnotesize\it мм}\)
Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника \(\displaystyle ACH\) и \(\displaystyle BCH{\small .}\) Воспользуемся особенностями каждого из них.
В прямоугольном треугольнике с углом величиной \(\displaystyle 30\degree \) напротив этого угла расположен катет, в два раза меньший гипотенузы.
На рисунке длина катета прямоугольного треугольника с углом величиной \(\displaystyle 30\degree \) обозначена через \(\displaystyle x{\small .}\) Тогда длина гипотенузы такого треугольника выражается как \(\displaystyle 2x{\small .}\)
Верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза короче гипотенузы, то ему противолежит острый угол треугольника величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \angle CAH=30\degree {\small ,}\) катет \(\displaystyle CH\) в два раза короче гипотенузы \(\displaystyle AC{\small .}\)
Находим длину \(\displaystyle CH\) делением:
\(\displaystyle CH=\frac{AC}{2}=\frac{87}{2}=43{,}5\,{\footnotesize\it (см)}\)
Умножим это число на \(\displaystyle 10{\small ,}\) чтобы получить длину в миллиметрах, так как в одном сантиметре \(\displaystyle 10\) миллиметров:
\(\displaystyle CH=43{,}5\cdot 10=435\,{\footnotesize\it (мм)}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Поскольку величина угла \(\displaystyle CBH\) составляет \(\displaystyle 45\degree{ \small ,}\)то величина угла \(\displaystyle BCH\) такая же:
\(\displaystyle \angle BCH=90\degree -\angle CBH=90\degree -45\degree =45\degree {\small .}\)
Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный, а равным углам противолежат равные стороны.
Значит,
\(\displaystyle BH=CH=435\,{\footnotesize\it (мм)}\)
Ответ: длина отрезка \(\displaystyle BH\) составляет \(\displaystyle 435\) миллиметров.