В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) с прямым углом при вершине \(\displaystyle C\) проведена медиана \(\displaystyle CM{\small .}\)
Известны длины трёх отрезков:
\(\displaystyle AC=16{\small ,\;}~~ CM=17{\small ,\;}~~BC=30{\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
\(\displaystyle P_{ABC}=\)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, в два раза короче гипотенузы.
На рисунке медиана проведена из вершины \(\displaystyle C\) прямого угла треугольника к середине гипотенузы. Её длина в два раза меньше длины гипотенузы:
\(\displaystyle CM=\frac{AB}{2}{\small .}\)
Поэтому на рисунке образуются три отмеченных равных отрезка.
Каждый из отрезков, на которые медиана делит гипотенузу, равен медиане.
Отметим на рисунке медиану \(\displaystyle CM\) как отрезок, равный отрезкам \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM{\small ,}\) на которые она поделила гипотенузу.
Получаем длину гипотенузы, удваивая длину медианы:
\(\displaystyle AB=2\cdot CM=2\cdot 17=34\)
Периметр треугольника \(\displaystyle -\) сумма длин всех его сторон.
Для треугольника \(\displaystyle ABC{\text :}\)
\(\displaystyle P_{ABC}=AB+BC+AC=34+30+16=80{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle P_{ABC}=80{\small .}\)