В треугольнике \(\displaystyle ABC\) с углом величиной \(\displaystyle 60\degree \) при вершине \(\displaystyle A\) середины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соединены отрезками с точкой \(\displaystyle F\) на третьей стороне.
Отрезок \(\displaystyle AF\) равен половине стороны \(\displaystyle AB{\small .}\) Известны длины трёх отрезков с концом \(\displaystyle F{\text :}\)
\(\displaystyle FC=23{\small ,\;}~~~FD=7{\small ,\;}~~~FE=13{\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
\(\displaystyle P_{ABC=}\)
По условию стороны \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AF\) треугольника \(\displaystyle ADF\) равны друг другу,
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит,
\(\displaystyle \angle ADF=\angle AFD{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Поэтому сумма величин углов \(\displaystyle ADF\) и \(\displaystyle AFD\) составит:
\(\displaystyle \angle ADF+\angle AFD=180\degree -\angle DAF=180\degree -60\degree =120\degree {\small .}\)
Это равные углы. Значит, величина каждого из них равна \(\displaystyle \frac{120\degree }{2}=60\degree {\small .}\)
Треугольник с тремя равными углами равносторонний.
То есть,
\(\displaystyle BD=AF=AD=DF=7{\small .}\)
Теперь известны длины двух сторон треугольника \(\displaystyle ABC{\text :}\)
- сторона \(\displaystyle AB\) складывается из известных частей \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle DB{\text ;}~\) её длина составит \(\displaystyle 7+7=14{\text ;}\)
- сторона \(\displaystyle AC\) складывается из известных частей \(\displaystyle AF\) и \(\displaystyle CF{\text ;}~\) её длина составит \(\displaystyle 7+23=30{\small .}\)
Проведём отрезок \(\displaystyle BF\) и рассмотрим равнобедренный треугольник \(\displaystyle BDF{\small .}\)
Угол при вершине \(\displaystyle D\) треугольника \(\displaystyle BDF\) образует пару смежных с углом \(\displaystyle ADF\) величиной \(\displaystyle 60\degree{\small .} \) Значит,
\(\displaystyle \angle BDF=180\degree -\angle ADF=180\degree -60\degree =120\degree {\small .}\)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, \(\displaystyle \angle DBF=\angle BFD{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Поэтому сумма величин углов \(\displaystyle DBF\) и \(\displaystyle BFD\) составит:
\(\displaystyle \angle DBF+\angle BFD=180\degree -\angle BDF =180\degree -120\degree =60\degree {\small .}\)
Это равные углы. Значит, величина каждого из них равна \(\displaystyle \frac{60\degree }{2}=30\degree {\small .}\)
Величина угла \(\displaystyle AFB\) складывается из величин составляющих его углов:
\(\displaystyle \angle AFB=\angle AFD+\angle BFD=60\degree +30\degree =90\degree {\small .}\)
Значит, угол \(\displaystyle AFD\) прямой. Иными словами, \(\displaystyle BF~-\) высота треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle BF\) является высотой треугольника \(\displaystyle ABC{ \small ,}\) треугольник \(\displaystyle BCF\) оказывается прямоугольным. Отрезок \(\displaystyle FE~-\) его медиана, проведённая к гипотенузе \(\displaystyle BD{\small .}\)
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, в два раза короче неё.
Значит, для вычисления длины гипотенузы \(\displaystyle BC\) достаточно удвоить длину медианы \(\displaystyle EF{\text :}\)
\(\displaystyle BC=2\cdot EF=2\cdot 13=26{\small .}\)
Вычислена длина третьей стороны треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\) Теперь посчитаем его периметр как сумму длин трёх сторон:
\(\displaystyle P_{ABC}=AB+BC+AC=14+26+30=70{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle P_{ABC}=70{\small .}\)