К гипотенузе прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) проведены высота \(\displaystyle CH\) и медиана \(\displaystyle CM{\small .}\)
Величина угла \(\displaystyle HCM\) между ними составляет \(\displaystyle 30\degree{ \small ,} \) а расстояние между их концами \(\displaystyle H\) и \(\displaystyle M\) равно \(\displaystyle 19\) сантиметрам.
Какова длина гипотенузы треугольника \(\displaystyle ABC{\text ?}\)
\(\displaystyle AB=\)\(\displaystyle \footnotesize\it см\)
Отрезок \(\displaystyle CH\) является высотой треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\) Значит, угол \(\displaystyle CHM\) прямой.
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle CHM\) величина острого угла \(\displaystyle HCM\) по условию равна \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
В прямоугольном треугольнике углу величиной \(\displaystyle 30\degree \) противолежит катет, в два раза меньший гипотенузы.
Значит, чтобы найти длину гипотенузы \(\displaystyle CM{ \small ,}\) достаточно удвоить длину катета \(\displaystyle HM{\text :}\)
\(\displaystyle CM=2\cdot HM=2\cdot19=38\,{\footnotesize\it (см)}{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\) по условию прямоугольный. Отрезок \(\displaystyle CM\) – его медиана, проведённая к гипотенузе.
Значит, для того чтобы найти длину гипотенузы \(\displaystyle AB{ \small ,}\) следует удвоить длину медианы \(\displaystyle CM{\small :}\)
\(\displaystyle AB=2\cdot CM=2\cdot 38=76\,{\footnotesize\it (см)}{\small .}\)
Ответ: длина гипотенузы треугольника \(\displaystyle ABC\) составляет \(\displaystyle 76\) сантиметров.