Даны параллелограмм \(\displaystyle ABCD\) и ненулевой вектор \(\displaystyle \vec a\small,\) параллельный стороне \(\displaystyle AD\small.\)
Точки \(\displaystyle A_1\small,\) \(\displaystyle B_1\) и \(\displaystyle C_1\) получены параллельным переносом на вектор \(\displaystyle \vec{a}\) вершин\(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\small.\)
Точка \(\displaystyle D_1\) получена параллельным переносом на вектор \(\displaystyle 2\vec{a}\) точки \(\displaystyle D\small.\)
Какую фигуру образуют точки \(\displaystyle A_1\small,\) \(\displaystyle B_1\small,\) \(\displaystyle C_1\) и \(\displaystyle D_1\small?\)
|  |
Выполним параллельный перенос точек \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) на вектор \(\displaystyle \vec{a}\) и точки \(\displaystyle D\) на вектор \(\displaystyle 2\vec{a}\small.\)
Так как параллельный перенос осуществляется на вектор, параллельный сторонам \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\small,\) то
- точки \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle D_1\) принадлежат прямой \(\displaystyle AD\small,\)
- точки \(\displaystyle B_1\) и \(\displaystyle C_1\) принадлежат прямой \(\displaystyle BC\small.\)
Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) параллельны, тогда \(\displaystyle A_1D_1\parallel B_1C_1\small.\) Тогда \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1\) – трапеция.
Параллельный перенос на один и тот же вектор сохраняет расстояния, поэтому:
\(\displaystyle B_1C_1=BC\small.\)
Точка \(\displaystyle D_1\) была получена параллельным переносом на вектор \(\displaystyle 2\vec{a}\small.\) Тогда длина \(\displaystyle A_1D_1\) больше длины \(\displaystyle AD\) на \(\displaystyle |\vec a|\small.\)
Вектор \(\displaystyle \vec a\)ненулевой. Значит,
\(\displaystyle A_1D_1\cancel{=}AD\) и \(\displaystyle A_1D_1\cancel{=}B_1C_1\small.\)
Следовательно, \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1\) не является параллелограммом.
Ответ: трапеция.