Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 09 Задачи на осевую симметрию (короткая версия)

Задание

Точка \(\displaystyle M\) – середина гипотенузы  \(\displaystyle AC\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) угол \(\displaystyle A\) которого равен \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) На его катете \(\displaystyle AB\) выбрали такую точку \(\displaystyle K\small,\) что \(\displaystyle CK + KM = AB\small.\) Найдите угол \(\displaystyle CMK\small.\)

(На рисунке не соблюдены пропорции и углы.)

\(\displaystyle \angle CMK=\)
90
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Решение

Осевая симметрия

Чтобы решить задачу, докажем, что если отразить \(\displaystyle M\) относительно \(\displaystyle AB\small,\) она попадет на луч \(\displaystyle CK\small.\)
 

Отразим точку \(\displaystyle M\) относительно \(\displaystyle AB\) и получим точку \(\displaystyle M_1\small.\)

При симметрии отрезки и углы переходят в равные. Тогда

\(\displaystyle AM=AM_1\) и \(\displaystyle \angle MAB=\angle M_1AB=30^{\circ}\small.\)


Посмотрим на треугольник \(\displaystyle MAM_1{\small:}\)

  • его угол \(\displaystyle MAM_1\) равен \(\displaystyle 60^{\circ}\small,\)
  • две его стороны равны \(\displaystyle AM=AM_1\small.\)

Тогда все углы этого треугольника равны \(\displaystyle 60^{\circ}\) и он равносторонний.

\(\displaystyle AM=AM_1=MM_1\small.\)

 

Проведем отрезок \(\displaystyle CM_1\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle CM_1A\) медиана \(\displaystyle M_1M\) равна половине основания, к которому проведена.

Значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом \(\displaystyle M_1\small.\)


Сравним прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle AM_1C{\small:}\)

  • острые углы этих треугольников \(\displaystyle 30^{\circ}\) и \(\displaystyle 60^{\circ}\) (в каждом из треугольников),
  • сторона \(\displaystyle AC\) общая гипотенуза.

Тогда треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle AM_1C\) равны.

Значит, равны и их катеты:

\(\displaystyle CM_1=AB\small.\)

 

Получаем:

\(\displaystyle CK+KM_1=CK+KM=AB\small.\)

Но тогда:

  • с одной стороны \(\displaystyle CM_1=AB{\small ; } \)
  • с другой стороны, длина \(\displaystyle CK+KM_1\) равна \(\displaystyle AB{ \small .} \)

Такое возможно только если точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle CM_1\small.\)

Ведь если точка \(\displaystyle K \) не лежит на \(\displaystyle CM_1{ \small ,} \) то

\(\displaystyle CK+KM_1> CM_1=AB\small.\)


Получаем рисунок:

Остается заметить, что \(\displaystyle KM\) – медиана в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle CKA\small.\)

Тогда \(\displaystyle KM\) также является высотой этого треугольника и \(\displaystyle \angle CMK=90^{\circ}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle \angle CMK=90^{\circ}\small.\)