Отрезки \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM\) образуют равные углы с диаметром полукруга. Найдите его радиус, если \(\displaystyle AM = 16\small,\) \(\displaystyle BM = 24\small,\) а расстояние от центра полукруга до отрезка \(\displaystyle MB\) равно \(\displaystyle 6\small.\)
Чтобы решить задачу, будем стремиться к тому, чтобы найти \(\displaystyle OB\) как гипотенузу прямоугольного треугольника.
Отразим точку \(\displaystyle A\) относительно диаметра \(\displaystyle XY\) и получим точку \(\displaystyle A_1\small.\) Отметим, что можно сказать про точку \(\displaystyle A_1{\small:}\)
|  |
Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. То есть, если \(\displaystyle K\) – основание перпендикуляра из \(\displaystyle O\) на \(\displaystyle A_1B\small,\) то \(\displaystyle A_1K=BK=\frac{A_1B}{2}\small.\) Поскольку \(\displaystyle A_1M=16\) и \(\displaystyle MB=24\small,\) то \(\displaystyle A_1B=A_1M+MB=16+24=40\small,\) \(\displaystyle A_1K=BK=\frac{A_1B}{2}=\frac{40}{2}=20\small.\) |  |
Теперь проведем \(\displaystyle OB\) и посмотрим на прямоугольный треугольник \(\displaystyle BOK\small.\) Его катеты известны, а гипотенуза – радиус, который необходимо найти. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(\displaystyle BOK{\small:}\) \(\displaystyle BO^2=BK^2+OK^2=20^2+6^2=436\small,\) \(\displaystyle BO=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle R=2\sqrt{109}\small.\)