Из двух точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) на сторонах угла в его внутреннюю область выпущены параллельные лучи. Прямая \(\displaystyle p\) перпендикулярна этим лучам и пересекает их в точках \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small ,}\) а стороны исходного угла в точках \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N{\small .}\) При этом образовались две пары равных отрезков:
\(\displaystyle AM=BN\) и \(\displaystyle AP=BQ{\small .}\)
Длина отрезка \(\displaystyle AO\) составляет \(\displaystyle 11~{\footnotesize\it см}{\small ,}\) а длина отрезка \(\displaystyle PQ\) равна \(\displaystyle 7~{\footnotesize\it см}{\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABO{\small .}\)
\(\displaystyle P_{ABO}=\)\(\displaystyle {\footnotesize\it см}\)
Из трёх сторон треугольника \(\displaystyle ABO\) известна длина только одной стороны \(\displaystyle AO{\small .}\) Последовательно вычислим длины двух других сторон.
Треугольники \(\displaystyle AMP\) и \(\displaystyle BNQ\) прямоугольные, так как по условию их стороны \(\displaystyle AP\) и \(\displaystyle BQ\) перпендикулярны прямой, содержащей их стороны \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NQ{\small .}\)
В этих треугольниках есть пара равных катетов и гипотенузы равны:
\(\displaystyle AP=BQ{\small ,\;}~~AM=BN{\small .}\)
Если в двух прямоугольных треугольниках есть пара равных катетов и гипотенузы равны, то треугольники равны.
Значит, равны треугольники \(\displaystyle AMP\) и \(\displaystyle BNQ\) и их углы \(\displaystyle AMP\) и \(\displaystyle BNQ{\small ,}\) расположенные напротив равных катетов.
Если два угла треугольника равны, то равны и стороны, противолежащие этим углам.
Значит, треугольник \(\displaystyle MNO\) равнобедренный с равными сторонами \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO{\small .}\)
Длины сторон \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO\) треугольника \(\displaystyle ABO\) также равны, так как измеряются разностью длин равных отрезков \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO\) и равных по условию отрезков \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BN{\small .}\)
\(\displaystyle AO=MO-AM=NO-BN=BO{\small .}\)
Теперь известны две стороны треугольника \(\displaystyle ABO{\text :}\)
\(\displaystyle AO=BO=11~{\footnotesize\it (см)}\)
Дополним рисунок отрезками \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AQ{\small .}\)
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABQ\) и \(\displaystyle APQ{\text :}\)
- у них есть общая сторона \(\displaystyle AQ{\text ;}\)
- стороны \(\displaystyle AP\) и \(\displaystyle BQ\) равны по условию;
- углы \(\displaystyle PAQ\) и \(\displaystyle AQB\) равны как накрест лежащие при пересечении двух параллельных прямых \(\displaystyle AP\) и \(\displaystyle BQ\) секущей \(\displaystyle AQ{\small .}\)
Значит, треугольники \(\displaystyle ABQ\) и \(\displaystyle APQ\) равны по первому признаку.
В этих равных треугольниках равны стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle PQ{\small ,}\) расположенные напротив равных углов.
Таким образом, нам известна длина третьей стороны треугольника \(\displaystyle ABO{\text :}\)
\(\displaystyle AB=PQ=7~{\footnotesize\it (см)}\)
Получаем периметр треугольника как сумму длин трёх его сторон:
\(\displaystyle P_{ABO}=AB+AO+BO=7+11+11=29~{\footnotesize\it (см)}\)
Ответ: периметр треугольника \(\displaystyle ABO\) равен \(\displaystyle 29\) сантиметрам.