В треугольнике меньшему углу противолежит меньшая сторона.

Для того чтобы упорядочить углы, достаточно упорядочить противолежащие им стороны.

Величина стороны \(\displaystyle BC\) совпадает с длиной опущенной на неё высоты: обе составляют пять клеток.

В то же время отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) являются наклонными к прямой \(\displaystyle BC{\small .}\)

Наклонная к прямой длиннее опущенного на ту же прямую из той же точки перпендикуляра.

Значит, \(\displaystyle BC~-\) самая короткая сторона треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) а угол \(\displaystyle BAC~-\) самый малый его угол.
 

Обозначим через \(\displaystyle H\) основание рассмотренного ранее перпендикуляра. Отложим на луче \(\displaystyle HB\) отрезок \(\displaystyle HE{ \small ,}\) равный отрезку \(\displaystyle CH\) (длиной три клетки).

Треугольники \(\displaystyle ACH\) и \(\displaystyle AEH\) равны по двум катетам. Значит, равны их гипотенузы:

\(\displaystyle AC=AE{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle ABE\) сторона, равная стороне \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) расположена напротив тупого угла. Значит, она является самой длинной из сторон треугольника \(\displaystyle ABE{\small .}\)

Это позволяет расставить стороны треугольника \(\displaystyle ABC\) в порядке возрастания их длин:

\(\displaystyle BC<AB<AC{\small .}\)
 

В треугольнике меньшей стороне противолежит меньший угол.

Поэтому вслед за сторонами упорядочиваются и углы:

 \(\displaystyle \angle BAC<\angle ACB<\angle ABC{\small .}\)

Построим два вспомогательных прямоугольных треугольника \(\displaystyle ADK\) и \(\displaystyle CDL\) с катетами длинами \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 4{\small .}\)

Эти треугольники равны по двум катетам. Значит, равны и их гипотенузы:

\(\displaystyle AD=CD{\small .}\)

То есть треугольник \(\displaystyle ACD\) равнобедренный.
 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree{\small .} \)

Значит, из трёх величин частей, из которых составлен развёрнутый угол \(\displaystyle KDL{ \small ,}\) две в сумме равны \(\displaystyle 90\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle ADK+\angle CDL=\angle ADK+\angle DAK=90\degree {\small .}\)

Оставшаяся часть \(\displaystyle -\) прямой угол:

\(\displaystyle \angle ADC=\angle KDL-\angle ADK-\angle CDL=180\degree -90\degree =90\degree {\small .}\)

То есть \(\displaystyle ACD~-\) равнобедренный прямоугольный треугольник.

Значит, величины его углов известны:

\(\displaystyle \angle ADC=90\degree \)       и       \(\displaystyle \angle CAD=45\degree {\small .}\)

На рисунке видно, что наибольший угол \(\displaystyle ABC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) является частью прямого угла, образуемого линиями разметки. Значит, прямой угол \(\displaystyle -\) самый большой из рассматриваемых в задаче.

Сравним наименьший угол \(\displaystyle BAC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) с углом величиной \(\displaystyle 45\degree {\small .}\)

Для этого удобно рассмотреть точку \(\displaystyle F{\small ,}\) симметричную относительно прямой \(\displaystyle AC\) точке \(\displaystyle D{\small .}\)

В данном случае она, очевидно, попадает на пересечение линий разметки.

Так мы получим треугольник \(\displaystyle ACF{\small ,}\) равный треугольнику \(\displaystyle ACD{\small .}\)

Его угол \(\displaystyle CAF\) имеет величину \(\displaystyle 45\degree \) и является частью угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)

Значит, угол \(\displaystyle BAC\) имеет величину большую, чем \(\displaystyle 45\degree {\small .}\) 

Теперь можно упорядочить уже все нужные нам углы.