Вершину \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle ABC\) соединили отрезком с точкой \(\displaystyle E\) на противоположной стороне.
На отрезке \(\displaystyle AE\) отметили точку \(\displaystyle D\) и соединили её отрезком с вершиной \(\displaystyle B{\small .}\)
Дополните доказательство неравенства для периметров треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\text :}\)
\(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\)
\(\displaystyle 1{\small .}\) Выпишем неравенство треугольника для сторон треугольника \(\displaystyle {\text :}\)
\(\displaystyle 2{\small .}\) Выпишем неравенство треугольника для сторон треугольника \(\displaystyle {\text :}\)
\(\displaystyle 3{\small .}\) Сложим два выписанных неравенства. После приведения подобных получим:
\(\displaystyle 4{\small .}\) Прибавив к обеим частям неравенства длину \(\displaystyle AB{\small ,}\) получим требуемое неравенство:
\(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\)
Восстановим доказательство по пунктам снизу вверх, последовательно заполняя пропуски.
Доказывается неравенство \(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\) для периметров треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\small .}\)
Распишем доказываемое неравенство периметров, подставляя суммы длин сторон треугольников:
\(\displaystyle AB+AC+BE+CE>AB+AD+BD{\small .}\)
Уберём слагаемое \(\displaystyle AB\) из обеих частей, так как оно добавлено только в последнем пункте:
\(\displaystyle AC+BE+CE>AD+BD{\small .}\)
Полученное неравенство должно быть результатом третьего пункта. Находим необходимые фрагменты и заполняем пропуски.
Отрезок \(\displaystyle BD\) может рассматриваться как сторона треугольника \(\displaystyle ABD\) или треугольника \(\displaystyle BDE{\small .}\)
Но длины стороны \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABD\) в восстановленном неравенстве третьего пункта нет. Значит, рассматривается треугольник \(\displaystyle BDE{\small .}\)
Выпишем неравенство треугольника для длины его стороны \(\displaystyle BD{\text :}\)
\(\displaystyle BE+DE>BD{\small .}\)
Заполняем пропуски второго пункта.
Сопоставляя восстановленные неравенства второго и третьего пунктов, понимаем, что в последнем нет слагаемого \(\displaystyle DE{\small ,}\) зато содержатся отсутствующие ранее слагаемые \(\displaystyle AC{\small ,\;}AD\) и \(\displaystyle CE{\small .}\)
Этот состав отрезков однозначно указывает на треугольник \(\displaystyle ACE{\small .}\)
Выпишем для длин его сторон неравенство треугольника так, чтобы слагаемое \(\displaystyle AD\) попадало в правую часть:
\(\displaystyle AC+CE>AD+DE{\small .}\)
Убедившись, что это неравенство в сумме с неравенством второго пункта приводит к неравенству третьего, заполняем пропуски первого пункта.
После восстановления всего доказательства внимательно читаем его сверху вниз и убеждаемся в его правильности.
| Ответ: |  |