По свойству степеней:

• \(\displaystyle 5^{n+1}=5^{n} \cdot 5^{1}=5 \cdot 5^{n}{\small,}\\[-5px]\)
• \(\displaystyle 5^{n-1}=\frac{5^{n}}{5}{\small.}\)

Тогда числитель \(\displaystyle 5^{n+1}-5^{n-1}\) принимает вид:

\(\displaystyle 5 \cdot 5^{n}-\frac{5^{n}}{5}{\small.}\)

Вынесем за скобку общий множитель \(\displaystyle \color {blue}{5^{n}}{\small:}\) 

\(\displaystyle 5 \cdot \color {blue}{5^{n}}-\frac{\color {blue}{5^{n}}}{5}=\color {blue}{5^{n}} \left(5-\frac{1}{5}\right)=\frac{24}{5}\cdot 5^{n} {\small}\)

Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

\(\displaystyle \frac{5^{n+1}-5^{n-1}}{2\cdot5^{n}}=\frac{\dfrac{24}{5}\cdot 5^{n}}{2\cdot5^{n}}=\left(\dfrac{24}{5} :2\right) \cdot \left(5^{n}:5^{n}\right){\small.}\)

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней вычитаются:

\(\displaystyle \left(\dfrac{24}{5} :2\right) \cdot \left(5^{n}:5^{n}\right)=\dfrac{24}{10}\cdot 5^{n-n}=2{,}4 \cdot 5^{0}=2{,}4\cdot 1=2{,}4{\small.}\)

Таким образом, значение исходного выражения не зависит от значения переменной \(\displaystyle n\) и равно \(\displaystyle 2{,}4{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 2{,}4{\small.}\)