Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Задачи на применение свойств углов, связанных с окружностью (короткая версия)

Задание

Окружность касается угла \(\displaystyle AKB\) в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small.}\) На данной окружности отметили точку \(\displaystyle C\) так, что \(\displaystyle \angle ACB=56^{\circ}{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle AKB{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AKB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle KA{\small,}\) \(\displaystyle KB\) – касательные к окружности;
  • \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) – точки касания;
  • \(\displaystyle C\) – точка окружности;
  • \(\displaystyle \angle ACB=56^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle AKB{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle AKB\) – это угол между касательными, проведёнными к окружности из одной точки.

Значит,

\(\displaystyle \angle AKB=\frac{1}{2}({\small \smile}ACB-{\small \smile}AB){\small.}\)

Определим градусные меры дуг \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle ACB{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle ACB\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AB{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2}{\small \smile}AB{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle {\small \smile}AB=2 \cdot \angle ACB=2 \cdot 56^{\circ}=112^{\circ}{\small.}\)

 

  • \(\displaystyle {\small \smile} ACB\) и \(\displaystyle {\small \smile} AB\) составляют окружность, градусная мера которой равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small,}\) то есть

\(\displaystyle {\small \smile}ACB+{\small \smile}AB=360^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle {\small \smile}ACB=360^{\circ}-{\small \smile}AB=360^{\circ}-112^{\circ}=248^{\circ}{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle \angle AKB=\frac{1}{2}({\small \smile}ACB-{\small \smile}AB)=\frac{1}{2} \cdot (248^{\circ}-112^{\circ})=\frac{1}{2} \cdot 136^{\circ}=68^{\circ}{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \angle AKB=68^{\circ}{\small.}\)