Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Задачи на применение свойств углов, связанных с окружностью (короткая версия)

Задание

Окружность проходит через вершину \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) касается его стороны \(\displaystyle AC\) в точке \(\displaystyle L\) и пересекает стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) в точках \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) соответственно. Найдите градусную меру угла \(\displaystyle BMN{\small,}\) если отрезок \(\displaystyle BL\) – биссектриса угла \(\displaystyle ABC{\small,}\) \(\displaystyle \angle ABL=32^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle BCA=44^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BMN=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • вершина \(\displaystyle B\) лежит на окружности;
  • \(\displaystyle AC\) касается окружности в точке \(\displaystyle L{\small;}\)
  • \(\displaystyle BL\) – биссектриса угла \(\displaystyle ABC{\small;}\)
  • \(\displaystyle BA\) пересекает окружность в точке \(\displaystyle M{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC\) пересекает окружность в точке \(\displaystyle N{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle ABL=32^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BCA=44^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BMN{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle BMN\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle BN{\small,}\) следовательно,

\(\displaystyle \angle BMN=\frac{1}{2}{\small \smile}BN{\small.}\)

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle BN{\small.}\)

\(\displaystyle {\small \smile}BN=360^{\circ}-({\small \smile}BM+{\small \smile}ML+{\small \smile}NL){\small.} \)

\(\displaystyle {\small \smile}ML={\small \smile}NL=64^{\circ}{\small.}\)

Заметим, что \(\displaystyle \angle BCA\) – это угол между касательной \(\displaystyle CA\) и секущей \(\displaystyle CB{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BML\) и \(\displaystyle NL{\small.}\)

 

Следовательно,

\(\displaystyle \angle BCA=\frac{{\small \smile}BML-{\small \smile}NL}{2}{\small.}\)

Подставим

\(\displaystyle \angle BCA=44^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BML={\small \smile}BM+64^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}NL=64^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle 44^{\circ}=\frac{{\small \smile}BM+64^{\circ}-64^{\circ}}{2}{\small;}\\ \)

\(\displaystyle 44^{\circ}=\frac{{\small \smile}BM}{2}{\small;}\)

\(\displaystyle {\small \smile}BM=2 \cdot 44^{\circ}=88^{\circ}{\small.} \)

Значит,

\(\displaystyle {\small \smile}BN=360^{\circ}-(88^{\circ}+64^{\circ}+64^{\circ})=360^{\circ}-216^{\circ}=144^{\circ}{\small.}\)

 

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BMN{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BMN=\frac{1}{2}{\small \smile}BN=\frac{1}{2} \cdot 144^{\circ}=72^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle BMN=72^{\circ}{\small.}\)