01Математика - 8 класс. Геометрия - Вписанный угол окружности. Задачи на клетчатой бумаге

Задание

По данным рисунка найдите градусную меру угла \(\displaystyle ABC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABC=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

Угол \(\displaystyle ABC\) вписанный и опирается на дугу \(\displaystyle AC{\small.}\)

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

То есть

\(\displaystyle \angle ABC=\frac{1}{2}{\small \smile}AC{\small.}\)

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AC{\small.}\)

\(\displaystyle {\small \smile}AC=\angle AOC{\small.}\)

Выполним дополнительное построение:

Проведём радиусы окружности \(\displaystyle OC\) и \(\displaystyle OA{\small.}\)

По рисунку видим: \(\displaystyle OA=2{\small.}\) Значит, \(\displaystyle OC=2{\small.}\)

Из точки \(\displaystyle C\) по линии сетки проведём перпендикуляр \(\displaystyle CH\) к радиусу \(\displaystyle OA{\small.}\)

По рисунку видим: \(\displaystyle OH=1{\small.}\)

Центральный угол \(\displaystyle AOC\) совпадает с углом \(\displaystyle COH\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle HCO{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle HCO{\small:}\)

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) равен половине гипотенузы.

Так как катет \(\displaystyle OH\) равен половине гипотенузы \(\displaystyle OC{\small,}\) то

\(\displaystyle \angle HCO=30^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle COH=90^{\circ}-\angle HCO=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \angle AOC=\angle COH=60^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle {\small \smile}AC=60^{\circ}{\small.}\)

Найдем градусную меру угла \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle \angle ABC=\frac{1}{2}{\small \smile}AC=\frac{1}{2} \cdot 60^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle ABC=30^{\circ}{\small.}\)

Поверните устройство