В равнобедренный треугольник \(\displaystyle ABC\) с основанием \(\displaystyle AB\) вписана окружность с центром \(\displaystyle O{\small .}\)
Она касается стороны \(\displaystyle BC\) в точке \(\displaystyle K{\small .}\)
Дополните таблицу возможных значений величины угла \(\displaystyle AOK\) в зависимости от значений величины угла \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
| \(\displaystyle ABC\) | \(\displaystyle AOK\) |
| \(\displaystyle 44\degree \) | \(\displaystyle \degree \) |
| \(\displaystyle \degree \) | \(\displaystyle 153\degree \) |
| \(\displaystyle \beta\) |
Обозначим через \(\displaystyle \beta\) величину угла при вершине \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Станем выражать через неё величины других углов рисунка, пока не получим выражение для величины искомого угла.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит,
\(\displaystyle \angle BAC=\angle ABC=\beta{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle ACB=180\degree -\angle ABC-\angle BAC=180\degree -2\beta{\small .}\)
Все биссектрисы треугольника проходят через центр вписанной в него окружности.
Соединим отрезком вершину \(\displaystyle C\) с центром вписанной окружности.
Отрезки \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle CO\) являются частями биссектрис углов треугольника при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Выразим в двух образовавшихся треугольниках \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle CKO\) величины двух составных частей искомого угла.
В треугольнике \(\displaystyle ACO\) углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C~-\) половины углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle ACB{\small .}\) Из теоремы о сумме углов треугольника выражаем величину угла \(\displaystyle AOC{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AOC=180\degree -\angle CAO-\angle ACO=180\degree -\frac{\beta}{2}-\frac{180\degree -2\beta}{2}=90\degree +\frac{\beta}{2}\)
В треугольнике \(\displaystyle CKO\) угол \(\displaystyle CKO\) прямой, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Известный острый угол \(\displaystyle -\) половина угла \(\displaystyle ACB{\small .}\) Вычисляем величину острого угла \(\displaystyle COK{\text :}\)
\(\displaystyle \angle COK=90\degree -\angle KCO=90\degree -(90\degree -\beta)=\beta\)
Складывая выражения для величин частей искомого угла, получаем:
\(\displaystyle \angle AOK=\angle AOC+\angle COK=90\degree +\frac{\beta}{2}+\beta=\)\(\displaystyle 90\degree +\frac{3\beta}{2}\)
Полученное в прошлом пункте выражение позволяет заполнить последнюю строку таблицы.
Для заполнения верхних строк подставляем в это выражение соответствующие значения.
Для первой строки:
\(\displaystyle \angle AOK=90\degree +\frac{3\cdot 44\degree }{2}=\)\(\displaystyle 156\degree {\small .}\)
Для второй строки получаем равенство, из которого следует выразить величину \(\displaystyle \beta{\text :}\)
\(\displaystyle 153\degree =90\degree +\frac{3\beta}{2}\)
После преобразований находим:
\(\displaystyle \beta=\)\(\displaystyle 42\degree {\small .}\)
| Ответ: |  |