В треугольниках \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle DEF\) равны:
- радиусы вписанных окружностей;
- углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D{\text ;}\)
- стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle DF{\small .}\)
Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q~-\) центры вписанных окружностей, \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N~-\) общие точки окружностей со сторонами \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle DF{\small .}\)
Дополните подходящими обоснованиями последовательность утверждений, доказывающую равенство треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle DEF{\small .}\)
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | \(\displaystyle \angle MAP=\angle NDQ\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | \(\displaystyle \angle AMP=\angle DNQ=90\degree \) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | \(\displaystyle {\bf\triangle}AMP={\bf\triangle}DNQ\) | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | \(\displaystyle CM=FN\) | |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | \(\displaystyle {\bf\triangle}CMP={\bf\triangle}FNQ\) | |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) | \(\displaystyle \angle MCP=\angle NFQ\) | |
| \(\displaystyle 7{\small .}\) | \(\displaystyle \angle ACB=\angle DFE\) | |
| \(\displaystyle 8{\small .}\) | \(\displaystyle {\bf\triangle}ABC={\bf\triangle}DEF\) |
Восстановим доказательство, попутно подбирая подходящие варианты обоснований.
Все биссектрисы треугольника проходят через центр вписанной в него окружности.
Значит,
- отрезок \(\displaystyle AP~-\) часть биссектрисы угла \(\displaystyle BAC{\text ;}\)
- отрезок \(\displaystyle DQ~-\) часть биссектрисы угла \(\displaystyle EDF{\small .}\)
Поскольку углы равны по условию, равны и половины этих равных углов:
\(\displaystyle \angle MAP=\angle NDQ{\small .}\)
Радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен касательной.
Значит, отрезки \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NQ\) перпендикулярны соответственно сторонам \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle DF\) по свойству касательной к окружности.
В прямоугольных треугольниках \(\displaystyle APM\) и \(\displaystyle DQN\) равны катеты \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NQ\) и противолежащие им острые углы \(\displaystyle MAP\) и \(\displaystyle NDQ{\small .}\)
По соответствующему признаку треугольники равны.
Подобраны подходящие обоснования для трёх первых пунктов.
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle CMP\) и \(\displaystyle FNQ{\small .}\)
Их катеты \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NQ\) равны как равные по условию радиусы окружностей. Обоснуем равенство двух других катетов.
Равные по условию отрезки \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle DF\) разделены соответственно точками \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) на две части каждый. Две из этих частей равны как стороны равных треугольников:
\(\displaystyle AM=DN{\small .}\)
Значит, равны и отрезки \(\displaystyle CM\) и \(\displaystyle FN{\small ,}\) так как составляют равные отрезки при соединении с равными отрезками.
Треугольники \(\displaystyle CMP\) и \(\displaystyle FNQ\) равны, поскольку имеют две пары равных катетов.
В этих равных треугольниках равны острые углы \(\displaystyle MCP\) и \(\displaystyle NFQ{\small .}\)
Найдены ещё три подходящих обоснования. Перейдём к оставшимся двум пунктам.
Все биссектрисы треугольника проходят через центр вписанной в него окружности.
Значит, лучи \(\displaystyle CP\) и \(\displaystyle FQ~-\) биссектрисы углов \(\displaystyle ACB\) и \(\displaystyle DFE{\small .}\) То есть углы \(\displaystyle ACB\) и \(\displaystyle DFE\) в два раза больше равных углов \(\displaystyle MCP\) и \(\displaystyle NFQ{\small ,}\) а значит, равны друг другу.
В треугольниках \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle DEF\) кроме этих найденных равных углов по условию равны стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle DF\) и углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Значит, треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle DEF\) равны по второму признаку.
| Ответ: |  |