Точка \(\displaystyle M~-\) середина стороны \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) а точка \(\displaystyle O~-\) центр описанной около него окружности.
Отрезок \(\displaystyle CO\) в два раза длиннее отрезка \(\displaystyle MO{\small .}\) Величина угла \(\displaystyle ACO\) составляет \(\displaystyle 19\degree{\small .}\)
Найдите величину угла \(\displaystyle BAC{\small .}\)
\(\displaystyle \angle BAC=\)\(\displaystyle \degree \)
Через центр описанной около треугольника окружности проходят серединные перпендикуляры всех его сторон.
Отрезок \(\displaystyle OM\) соединяет центр описанной окружности с серединой стороны \(\displaystyle AB{\small .}\)
Значит, он является частью серединного перпендикуляра к этой стороне.
Таким образом, угол \(\displaystyle AMO\) прямой.
Центр описанной около треугольника окружности равноудалён ото всех его вершин.
Значит, \(\displaystyle AO=CO{\small .}\)
По условию имеем:
\(\displaystyle OM=\frac{1}{2}CO=\frac{1}{2}AO{\small .}\)
Если катет прямоугольного треугольника в два раза меньше гипотенузы, то ему противолежит угол величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Значит, в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AMO{\text :}\)
\(\displaystyle \angle MAO=30\degree {\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ACO\) равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит,
\(\displaystyle \angle CAO=\angle ACO=19\degree{\small .}\)
Остаётся найти величину искомого угла как сумму величин составляющих его частей:
\(\displaystyle \angle BAC=\angle MAO+\angle CAO=30\degree +19\degree =49\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle BAC=49\degree{\small .}\)