Подберите продолжения предложений так, чтобы получились три верных утверждения.
| НАЧАЛО УТВЕРЖДЕНИЯ | ПРОДОЛЖЕНИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ |
| В любом треугольнике центр описанной окружности расположен... | |
| В остроугольном равнобедренном треугольнике центр описанной окружности расположен... | |
| В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности расположен... |
Три серединных перпендикуляра треугольника проходят через одну точку.
Это следует из того, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от его концов
Пусть \(\displaystyle O\) – точка пересечения двух серединных перпендикуляров, проведённых, например, к сторонам \(\displaystyle \) и \(\displaystyle \) треугольника \(\displaystyle \) Тогда равны расстояния
- от точки \(\displaystyle O\) до вершин \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small ,}\)
- от точки \(\displaystyle O\) до вершин \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Тогда точка \(\displaystyle O\) равноудалена от вершин \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small ,\;}\) а значит принадлежит серединному перпендикуляру к стороне \(\displaystyle AC{\small .}\)
То есть точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения всех трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Обратим внимание, что точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена ото всех вершин треугольника.
Это приводит к тому, что точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.
Поскольку утверждение в первой строке относится к произвольному треугольнику, дополняем его продолжением "...в точке пересечения серединных перпендикуляров к двум сторонам".
В равнобедренном треугольнике проведённые к основанию высота, медиана и биссектриса совпадают.
Значит, проведённая к основанию равнобедренного треугольника высота проходит через его середину. То есть этот отрезок является частью серединного перпендикуляра.
Точка его пересечения с серединным перпендикуляром к другой стороне \(\displaystyle -\) центр описанной около треугольника окружности.
Дополняем утверждение во второй строке продолжением "...в точке пересечения высоты к одной из сторон и серединного перпендикуляра к другой".
В прямоугольном треугольнике проведённая из вершины прямого угла медиана равна половине гипотенузы.
Значит, окружность с центром в середине гипотенузы прямоугольного треугольника и радиусом, равным половине этой гипотенузы, проходит через все вершины треугольника.
По определению эта окружность является описанной для рассматриваемого треугольника.
Дополняем утверждение в третьей строке продолжением "...в середине одной из сторон".
| Ответ: |  |