Окружность радиуса \(\displaystyle r\) с центром в точке \(\displaystyle O\) вписана в угол величиной \(\displaystyle \alpha\) с вершиной в точке \(\displaystyle F{\small .}\)
Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) этой окружности принадлежат сторонам угла. Обозначены длины двух отрезков:
\(\displaystyle FO=d{\small ,\;}BF=l{\small .}\)
Сопоставьте возможным значениям величины \(\displaystyle \alpha\) по одному условию, связывающему обозначенные длины отрезков.
| Величина \(\displaystyle \alpha\) | Выполненное равенство |
| \(\displaystyle 60\degree \) | |
| \(\displaystyle 90\degree \) | |
| \(\displaystyle 120\degree \) |
Окружность называется вписанной в угол, если обе стороны этого угла касаются окружности.
На рисунке показана окружность с центром \(\displaystyle O{\small ,}\) вписанная в угол с вершиной \(\displaystyle A{\small .}\)
Радиусы, проведённые в точки касания окружности со сторонами угла, перпендикулярны этим сторонам.
Значит, центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла, то есть принадлежит его биссектрисе.
Дополним чертёж задачи:
- отметим прямой угол, образованный стороной угла и радиусом, проведённым в точку касания;
- отметим как равные отрезки касательных, проведённых к окружности из вершины угла;
- отметим равные углы, пользуясь тем, что центр окружности принадлежит биссектрисе угла.
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AFO\) один из острых углов имеет величину в два раза меньшую, чем исходный угол \(\displaystyle AFB{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AFO=\frac{\angle AFB}{2}=\frac{\alpha}{2}\)
Катет \(\displaystyle AF\) этого треугольника имеет ту же длину \(\displaystyle l{\small ,}\) что и отрезок \(\displaystyle BF{\small .}\)
Выберем условия, выполненные для длин сторон этого треугольника для каждого из данных значений \(\displaystyle \alpha{\small .}\)
В этом случае величина угла \(\displaystyle AFO\) составляет \(\displaystyle \frac{60\degree }{2}=30\degree {\small .}\)
В прямоугольном треугольнике напротив острого угла величиной \(\displaystyle 30\degree \) расположен катет, в два раза меньший гипотенузы.
Значит, \(\displaystyle FO=2\cdot AO\) или, используя обозначения длин:
\(\displaystyle d=2r{\small .}\)
В этом случае величина угла \(\displaystyle AFO\) составляет \(\displaystyle \frac{90\degree }{2}=45\degree {\small .}\)
Прямоугольный треугольник с углом величиной \(\displaystyle 45\degree\) является равнобедренным.
Значит, \(\displaystyle AF=AO\) или, используя обозначения длин:
\(\displaystyle l=r{\small .}\)
В этом случае величина угла \(\displaystyle AFO\) составляет \(\displaystyle \frac{120\degree }{2}=60\degree {\small .}\)
В прямоугольном треугольнике сумма величин острых углов равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Значит, величина другого острого угла этого треугольника равна
\(\displaystyle \angle AOF=90\degree -60\degree =30\degree {\small .}\)
В прямоугольном треугольнике напротив острого угла величиной \(\displaystyle 30\degree \) расположен катет, в два раза меньший гипотенузы.
Значит, \(\displaystyle FO=2\cdot AF\) или, используя обозначения длин:
\(\displaystyle d=2l{\small .}\)
| Ответ: |  |