В угол величиной \(\displaystyle \alpha\) с вершиной в точке \(\displaystyle D\) вписана окружность с центром в точке \(\displaystyle O{\small .}\)
Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B~-\) её общие точки со сторонами угла.
Треугольник \(\displaystyle ABC\) вписан в эту окружность так, что точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) расположены по разные стороны прямой \(\displaystyle AB{\small .}\)
Выберите из предложенных вариантов выражения, соответствующие следующим углам.
| Обозначение угла | Величина угла |
| \(\displaystyle \angle ADB\) | \(\displaystyle \alpha\) |
| \(\displaystyle \angle ADO\) | |
| \(\displaystyle \angle AOB\) | |
| \(\displaystyle \angle ACB\) |
Последовательно выразим величины углов через величину \(\displaystyle \alpha{\small .}\)
Поскольку окружность вписана в угол \(\displaystyle ADB{\small ,}\) луч \(\displaystyle DO~-\) биссектриса угла \(\displaystyle ADB{\small .}\)
Значит величина угла \(\displaystyle ADO\) равна половине величины угла \(\displaystyle ADB{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ADO=\frac{\angle ADB}{2}=\)\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}\)
Радиус окружности, проведённый к её точке касания с прямой, перпендикулярен касательной.
Значит, треугольники \(\displaystyle ADO\) и \(\displaystyle BDO~-\) прямоугольные.
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Значит, величины обоих углов \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOD\) одинаково выражаются через величину \(\displaystyle \alpha{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AOD=90\degree -\angle ADO=90\degree -\frac{\alpha}{2}\,{\text ;}\) \(\displaystyle \angle BOD=90\degree -\angle BDO=90\degree -\frac{\alpha}{2}\)
Искомый угол \(\displaystyle AOB\) составлен из частей \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOD{\small .}\) Поэтому его величина равна сумме их величин:
\(\displaystyle \angle AOB=\angle AOD + \angle BOD=\)\(\displaystyle 180\degree -\alpha{\small .}\)
Рассмотренный в предыдущем пункте угол \(\displaystyle AOB\) составлен из двух внешних углов треугольников \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle BCO{\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух несмежных с ним углов треугольника.
Значит,
\(\displaystyle \angle CAO+\angle ACO+\angle BCO+\angle CBO=\angle AOB=180\degree -\alpha{\small .}\)
Треугольники \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle BCO\) равнобедренные, так как отрезки \(\displaystyle AO{\small ,\;}BO\) и \(\displaystyle CO\) являются радиусами одной окружности.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит в полученном выше равенстве можно заменить углы \(\displaystyle CAO\) и \(\displaystyle CBO\) равными им углами \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle BCO{\text :}\)
\(\displaystyle 2\cdot\angle ACO+2\cdot\angle BCO=180\degree -\alpha{\small .}\)
Разделив на два, получим сумму величин углов, из которых составлен искомый угол:
\(\displaystyle \angle ACB=\angle ACO+\angle BCO=\)\(\displaystyle 90\degree -\frac{\alpha}{2}\)
| Ответ: |  |