На сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) взяты точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) так, что прямые \(\displaystyle MC\) и \(\displaystyle NC\) делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите \(\displaystyle MN{\small,}\) если \(\displaystyle BD = 7{\small.}\)
\(\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{3}\small.\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BMC{\small.}\) Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Проведем высоту \(\displaystyle CH\) треугольника \(\displaystyle BMC{\small,}\) тогда \(\displaystyle S_{\triangle BMC}=\frac{BM \cdot CH}{2}{\small.}\) С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону: \(\displaystyle S_{ABCD}=AB\cdot CH{\small.}\) |  |
По условию площадь треугольника втрое меньше площади параллелограмма:
\(\displaystyle S_{BMC}=\frac{S_{ABCD}}{3}{\small.}\)
Подставляя выражения для площадей, получаем:
\(\displaystyle \frac{BM\cdot CH}{2}=\frac{AB\cdot CH}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle \frac{BM}{AB}=\frac{2}{3}{\small.}\)
Отрезок \(\displaystyle BM\) составляет две трети отрезка \(\displaystyle AB{\small.}\) Тогда отрезок \(\displaystyle AM\) составляет одну треть отрезка \(\displaystyle AB{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}{\small.}\)
Аналогично получаем, что \(\displaystyle AN\) составляет треть \(\displaystyle AD{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{AN}{AD}=\frac{1}{3}{\small.}\)
\(\displaystyle MN=\frac{7}{3}{\small.}\)
Треугольники \(\displaystyle MAN\) и \(\displaystyle BAD\) подобны: \(\displaystyle \begin{cases}\angle A - {\footnotesize \text{общий}},\\ \\\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{3}.\end{cases}\) |  |
Тогда и оставшиеся соответственные стороны относятся как один к трем:
\(\displaystyle \frac{MN}{BD}=\frac{1}{3}{\small.}\)
Подставляя \(\displaystyle BD=7\small,\) находим \(\displaystyle MN{\small:}\)
\(\displaystyle MN=\frac{BD}{3}=\frac{7}{3}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle MN=\frac{7}{3}{\small.}\)