Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. (То есть вся трапеция разделена данными прямыми на три части.) Найдите площадь средней части, если площади крайних \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\)
Проведем высоту трапеции \(\displaystyle BH\small.\) Поскольку прямые \(\displaystyle KL\) и \(\displaystyle MN\) параллельны основаниям, то они также перпендикулярны высоте. Прямые \(\displaystyle AD,\,MN,\,KL,\,BC\) – параллельны и делят сторону \(\displaystyle AB\) на три равные части. Тогда по теореме Фалеса они делят и отрезок \(\displaystyle BH\) на три равные части. Пусть \(\displaystyle h\) – длина одной такой части. |  |
Введём обозначения: \(\displaystyle BC=a,\,KL=b,\,MN=c,\,D=d\small.\) Пусть \(\displaystyle A\) – площадь верхней трапеции, а \(\displaystyle B\) – нижней. Тогда \(\displaystyle A=\frac{a+b}{2}\cdot h\) и \(\displaystyle B=\frac{c+d}{2}\cdot h\small.\) |  |
Площадь средней трапеции, которую необходимо найти:
\(\displaystyle S_{MKLN}=\frac{b+c}{2}\cdot h\small.\)
Если сложить две первые площади, то получится выражение, похожее на третье:
\(\displaystyle A+B=\frac{a+b}{2}\cdot h+\frac{c+d}{2}\cdot h=\frac{a+d}{2}\cdot h+\frac{b+c}{2}\cdot h\small.\)
Заметим, что и \(\displaystyle \frac{a+d}{2}{\small,}\) и \(\displaystyle \frac{b+c}{2}\) равно длине средней линии трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\)
Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований.
Тогда, если \(\displaystyle m\) – длина средней линии трапеции \(\displaystyle ABCD\small,\) то
\(\displaystyle m=\frac{a+d}{2}\small.\)
Средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD\) делит пополам боковые стороны трапеции \(\displaystyle MKLN\small.\)
То есть является средней линией \(\displaystyle MKLN\small.\) Тогда
\(\displaystyle m=\frac{b+c}{2}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{a+d}{2}=m=\frac{b+c}{2}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle A+B=\frac{a+d}{2}\cdot h+\frac{b+c}{2}\cdot h=2\left(\frac{b+c}{2}\cdot h\right)=2S_{MKLN}\small,\)
\(\displaystyle S_{MKLN}=\frac{A+B}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=\frac{A+B}{2}\small.\)