Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Вписанные четырехугольники (короткая версия)

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведены биссектрисы \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE\small,\) пересекающиеся в точке \(\displaystyle O\small.\) Известно, что \(\displaystyle OE = 1\small,\) а вершина \(\displaystyle C\) лежит на окружности, проходящей через точки \(\displaystyle E\small,\) \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle O\small.\) Найдите сторону \(\displaystyle ED \) и угол \(\displaystyle EDO \) треугольника \(\displaystyle EDO\small.\)

\(\displaystyle ED=\)
\sqrt{3}
  \(\displaystyle \quad\angle EDO=\)
30
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Решение

Построим рисунок к задаче:

Обозначим:

  • половину угла \(\displaystyle ABC\) за \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\small,\)
  • половину угла \(\displaystyle BAC\) за \(\displaystyle \color{green}{\beta}\small.\)

1. Посчитаем углы на картинке.

Сумма углов треугольника \(\displaystyle ABC\) равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) откуда

\(\displaystyle \angle ACB=180^{\circ}-2\color{red}{\alpha}-2\color{green}{\beta}\small.\)

Четырехугольник \(\displaystyle EODC\) – вписанный. Значит, сумма его противоположных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)

\(\displaystyle \angle EOD+\angle ECD=180^{\circ}\small,\)

\(\displaystyle \angle EOD=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\color{red}{\alpha}-2\color{green}{\beta})=2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta}\small.\)

Углы \(\displaystyle EOD\) и \(\displaystyle AOB\) вертикальные, а значит, равны:

\(\displaystyle \angle AOB=\angle EOD=2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta}\small.\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOB\small.\)

Сумма его углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)

\(\displaystyle \color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta}+(2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta})=180^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle 3(\color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta})=180^{\circ}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}\small.\)

Тогда находим углы:

  • \(\displaystyle \angle ACB=180^{\circ}-2\color{red}{\alpha}-2\color{green}{\beta}=60^{\circ}{\small,}\)
  • \(\displaystyle \angle EOD=2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta}=120^{\circ}\small.\)

 

 

2. Проведем отрезки \(\displaystyle OC\) и \(\displaystyle ED\small.\)

Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения двух биссектрис треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) Тогда и третья биссектриса проходит через точку \(\displaystyle O\small,\) а значит, \(\displaystyle OC\) – биссектриса угла \(\displaystyle \angle ACB\small.\)

Значит,

\(\displaystyle \angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}\small.\)

Четырехугольник \(\displaystyle ODCE\) – вписанный, тогда углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

  • \(\displaystyle \angle OED=\angle OCD=30^{\circ}\small,\)
  • \(\displaystyle \angle ODE=\angle OCE=30^{\circ}\small.\)

 

    Таким образом, углы треугольника \(\displaystyle OED{\small : }\)

    \(\displaystyle \angle O=120^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle E=\angle D=30^{\circ}\small.\)

    Также из условия известно, что \(\displaystyle OE=1\small.\)

    Найдем последнюю сторону треугольника:

    \(\displaystyle ED=\sqrt{3}\small.\)


    Ответ: \(\displaystyle ED=\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \angle EDO=30^{\circ}\small.\)