В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведены биссектрисы \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE\small,\) пересекающиеся в точке \(\displaystyle O\small.\) Известно, что \(\displaystyle OE = 1\small,\) а вершина \(\displaystyle C\) лежит на окружности, проходящей через точки \(\displaystyle E\small,\) \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle O\small.\) Найдите сторону \(\displaystyle ED \) и угол \(\displaystyle EDO \) треугольника \(\displaystyle EDO\small.\)
Обозначим:
|  |
1. Посчитаем углы на картинке. Сумма углов треугольника \(\displaystyle ABC\) равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) откуда \(\displaystyle \angle ACB=180^{\circ}-2\color{red}{\alpha}-2\color{green}{\beta}\small.\) Четырехугольник \(\displaystyle EODC\) – вписанный. Значит, сумма его противоположных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \angle EOD+\angle ECD=180^{\circ}\small,\) \(\displaystyle \angle EOD=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\color{red}{\alpha}-2\color{green}{\beta})=2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta}\small.\) Углы \(\displaystyle EOD\) и \(\displaystyle AOB\) вертикальные, а значит, равны: \(\displaystyle \angle AOB=\angle EOD=2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta}\small.\) |  |
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOB\small.\) Сумма его углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta}+(2\color{red}{\alpha}+2\color{green}{\beta})=180^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle 3(\color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta})=180^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \color{red}{\alpha}+\color{green}{\beta}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}\small.\) Тогда находим углы:
|  |
2. Проведем отрезки \(\displaystyle OC\) и \(\displaystyle ED\small.\) Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения двух биссектрис треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) Тогда и третья биссектриса проходит через точку \(\displaystyle O\small,\) а значит, \(\displaystyle OC\) – биссектриса угла \(\displaystyle \angle ACB\small.\) Значит, \(\displaystyle \angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}\small.\) Четырехугольник \(\displaystyle ODCE\) – вписанный, тогда углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
|  |
Таким образом, углы треугольника \(\displaystyle OED{\small : }\)
\(\displaystyle \angle O=120^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle E=\angle D=30^{\circ}\small.\)
Также из условия известно, что \(\displaystyle OE=1\small.\)
\(\displaystyle ED=\sqrt{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle ED=\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \angle EDO=30^{\circ}\small.\)