Стороны угла \(\displaystyle KLM\) продлевают гипотенузу и меньший катет прямоугольного треугольника \(\displaystyle KLM\small.\) Требуется построить вписанную в этот угол окружность, радиус которой равен меньшему катету.
Дополните описание одного из возможных способов построения этой окружности.
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | Найдём точку, расстояние от которой до прямой \(\displaystyle KL\) равно \(\displaystyle KL{\small .}\) Для этого отложим отрезок длиной \(\displaystyle KL\) на луче от его начала. Получим точку \(\displaystyle N{\small .}\) |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | Построим прямую, все точки которой находятся на расстоянии \(\displaystyle KL\) от прямой \(\displaystyle KL{\small .}\) Проведём её перпендикулярно прямой через точку |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | Построим центр искомой окружности. Найдём общую точку \(\displaystyle O\) проведённой прямой и |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | Проведём окружность с центром \(\displaystyle O\) и радиусом длиной \(\displaystyle KL{\small .}\) |
Поскольку радиус окружности известен, задача сводится к отысканию её центра.
Центр вписанной в угол окружности принадлежит внутренней области угла и равноудалён от его сторон. Значит, центр \(\displaystyle O\) искомой окружности принадлежит биссектрисе угла \(\displaystyle KLM~-\) геометрическому месту точек угла с его внутренней областью, равноудалённых от сторон угла. Эта биссектриса строится по известному правилу. Поэтому её удобно использовать при построении как одну из пересекающихся прямых, проходящих через точку \(\displaystyle O{\small .}\) |  |
Расстояния от всех точек одной из двух параллельных прямых до другой одинаковы. Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до прямой \(\displaystyle KL\) равно длине отрезка \(\displaystyle KL{\small .}\) Если провести через эту точку прямую, параллельную прямой \(\displaystyle KL{\small ,}\) то все её точки будут на том же расстоянии от прямой \(\displaystyle KL{\small .}\) Воспользуемся тем, что одну из точек этой прямой мы можем получить с самого начала построения. Отрезок \(\displaystyle KM\) перпендикулярен прямой \(\displaystyle KL{\small .}\) Если отложить от его конца \(\displaystyle K\) длину отрезка \(\displaystyle KL{\small ,}\) то расстояние от полученной точки до прямой \(\displaystyle KL\) будет равно этой длине. |  |
Таким образом, план построения состоит в том, чтобы найти центр \(\displaystyle O\) искомой окружности как общую точку двух прямых:
- биссектрисы угла \(\displaystyle KLM{\text ;}\)
- прямой, параллельной прямой \(\displaystyle KL\) и проходящей через точку, удалённую от неё на расстояние \(\displaystyle KL{\small .}\)
Реализуем этот план, попутно заполняя пропуски в описании построения.
Отложив на луче \(\displaystyle KM\) отрезок, равный отрезку \(\displaystyle KL{\small ,}\) получим точку \(\displaystyle N{\small .}\) Перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую \(\displaystyle KL\small,\) имеет нужную длину \(\displaystyle KL{\small .}\) |  |
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Построим прямую, проходящую через полученную ранее точку \(\displaystyle N\) и перпендикулярную прямой \(\displaystyle KM{\small .}\) Она окажется параллельной прямой \(\displaystyle KL{\small ,}\) так как и та перпендикулярна прямой \(\displaystyle KM{\small .}\) Все точки проведённой прямой удалены на одинаковое расстояние \(\displaystyle KL\) от прямой \(\displaystyle KL{\small .}\) |  |
Среди точек ранее построенной прямой, одинаково удалённых от одной из сторон угла на расстояние \(\displaystyle KL{\small ,}\) нужно найти находящуюся на том же расстоянии и от другой стороны угла точку. Одинаково удалены от сторон угла \(\displaystyle KLM\) точки его биссектрисы. Проведём её, пользуясь известным правилом о построении биссектрисы угла. |  |
Точка \(\displaystyle O{\small ,}\) принадлежащая обеим построенным прямым, одинаково удалена от сторон угла \(\displaystyle KLM\) на расстояние \(\displaystyle KL{\small .}\) Построив окружность с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle KL{\small ,}\) обнаружим, что она касается обеих сторон угла согласно правилу о взаимном расположении прямой и окружности. |  |
| Ответ: |  |