Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Возведение в квадрат выражения, содержащего корень квадратный - 2

Задание

Найдите квадрат суммы:

\(\displaystyle (\sqrt{2x}+\sqrt{3x}\,)^2=\)
5x+2x\sqrt{6}

В ответе приведите подобные с целыми коэффициентами.
Под корнем не должно быть множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

Решение

Раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (\sqrt{2x}+\sqrt{3x}\,)^2{\small , }\) используя формулу квадрата суммы.

Квадрат суммы

Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{2x}+\sqrt{3x}\,)^2= \left(\sqrt{2x}\,\right)^2+ 2\cdot \sqrt{2x}\cdot \sqrt{3x}+ \left(\sqrt{3x}\,\right)^2 {\small . }\)

По определению корня,

\(\displaystyle \left(\sqrt{ 2x}\,\right)^2=2x\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{3x}\,\right)^2=3x{\small . } \)

Кроме того, по свойствам корня

\(\displaystyle \sqrt{ 2x}\cdot \sqrt{ 3x}=\sqrt{ 2x\cdot 3x}= \sqrt{ 6x^2}= x\cdot \sqrt{ 6}=x\sqrt{ 6} {\small . } \)

Значит,

\(\displaystyle \left(\sqrt{2x}\,\right)^2+ 2\cdot \sqrt{2x}\cdot \sqrt{3x}+ \left(\sqrt{3x}\,\right)^2= 2x+ 2\cdot x\sqrt{ 6}+3x= 5x+ 2x\sqrt{ 6}{\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle 5x+ 2x\sqrt{ 6} {\small . }\)