Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Возведение в квадрат выражения, содержащего корень квадратный - 2

Задание

Найдите квадрат разности:

\(\displaystyle (2\sqrt{2a}-5\sqrt{3a}\,)^2=\)
83a-20a\sqrt{6}

В ответе приведите подобные с целыми коэффициентами.
Под корнем не должно быть множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

Решение

Раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (2\sqrt{2a}-5\sqrt{3a}\,)^2{\small , }\) используя формулу квадрата разности. Получаем:

\(\displaystyle (2\sqrt{2a}-5\sqrt{3a}\,)^2= \left(2\sqrt{2a}\,\right)^2- 2\cdot 2\sqrt{2a}\cdot 5\sqrt{3a}+ \left(5\sqrt{3a}\,\right)^2 {\small . }\)

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

По свойству степени в степени и по определению корня имеем:

\(\displaystyle \left(2\sqrt{2a}\,\right)^2=2^2\cdot \left(\sqrt{ 2a}\,\right)^2= 4\cdot 2a= 8a{\small . } \)

Аналогично

  \(\displaystyle \left(5\sqrt{3a}\,\right)^2=5^2\cdot \left(\sqrt{ 3a}\,\right)^2= 25\cdot 3a= 75a{\small . } \)

Кроме того,

\(\displaystyle 2\cdot 2\sqrt{2a}\cdot 5\sqrt{3a}=(2\cdot 2\cdot 5)\cdot (\sqrt{ 2a}\cdot \sqrt{ 3a}\,)= \)

\(\displaystyle =20\sqrt{ 2a\cdot 3a}= 20\sqrt{ 6a^2}= 20\cdot a\sqrt{ 6}=20a\sqrt{ 6} {\small . } \)

Значит,

\(\displaystyle \left(2\sqrt{2a}\,\right)^2- 2\cdot 2\sqrt{2a}\cdot 5\sqrt{3a}+ \left(5\sqrt{3a}\,\right)^2= 8a- 20a\sqrt{ 6}+75a= 83a- 20a\sqrt{ 6}{\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle 83a- 20a\sqrt{ 6} {\small . }\)