Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Построение графика функции \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\)

Задание

Замечание / комментарий

Построение графика функции \(\displaystyle y=2x^2+4x-1{\small .}\)

 Найдите координаты вершины параболы, заданной уравнением \(\displaystyle y=2x^2+4x-1{\small .}\)

\(\displaystyle x_{0}=\)
-1
\(\displaystyle y_{0}=\)
-3


Найдите неизвестный коэффициент и перепишите уравнение параболы \(\displaystyle y=2x^2+4x-1\) в виде

\(\displaystyle y=\)
2
\(\displaystyle \cdot (x-(-1))^2 -3\)


Постройте по точкам график функции \(\displaystyle y=2x^2{\small :}\)

\(\displaystyle x\)\(\displaystyle -3\)\(\displaystyle -2\)\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle y\)
18
8
2
0
2
8
18


Меняя ползунками значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\) постройте график \(\displaystyle y=2 (x-(-1))^2 + (-3){\small .}\)

Решение

Правило

Координаты вершины параболы

Если парабола задана уравнением \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small ,}\) то координаты вершины можно найти по формулам:

\(\displaystyle x_{0}=\frac{-b}{2a}\)

и

подставляя \(\displaystyle x_0\) в уравнение, можно найти \(\displaystyle y_0{\small .}\)

Для уравнения

\(\displaystyle y=2x^2+4x-1{\small .}\)

\(\displaystyle a=2,\, b=4\) и \(\displaystyle c=-1{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle x_0=-\frac{4}{2\cdot 2},\) то есть \(\displaystyle x_0=-1{\small .}\)

Подставляя \(\displaystyle x_0=-1\) в уравнение \(\displaystyle y=2x^2+4x-1{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle y_0=2\cdot (-1)^2+4\cdot (-1)-1{\small ,}\)

\(\displaystyle y_0=-3{\small .}\)


Напомним, что

Определение

Вершина параболы, заданной уравнением \(\displaystyle y=k(x-a)^2+b\)

Вершиной параболы, заданной уравнением \(\displaystyle y=k(x-a)^2+b{ \small ,}\) называется точка с координатами \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Мы нашли вершину: \(\displaystyle (-1;-3){\small .}\)

Тогда данный график задан уравнением \(\displaystyle y=\color{red}{k}(x+1)^2-3\) для некоторого коэффициента \(\displaystyle \color{red}{k}{\small .}\)

По условию был дан график функции \(\displaystyle y=\color{red}{2}x^2+4x-1{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle \color{red}{k}=\color{red}{2}\) и данная парабола может быть задана уравнением

\(\displaystyle y=2(x+1)^2-3{\small .}\)


Заполним таблицу для функции \(\displaystyle y=2 x^2{\small :}\)

  • \(\displaystyle x=-3{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot (-3)^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=18{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=-2{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot (-2)^2{\small ,}\) следовательно\(\displaystyle y=8{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=-1{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot (-1)^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=2{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=0{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot 0^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=0{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=1{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot 1^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=2{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=2{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot 2^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=8{\small ;}\)
  • \(\displaystyle x=3{\small ,}\) тогда \(\displaystyle y=2\cdot 3^2{\small ,}\) следовательно \(\displaystyle y=18{\small.}\)
\(\displaystyle x\)\(\displaystyle -3\)\(\displaystyle -2\)\(\displaystyle -1\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle y\)\(\displaystyle 18\)\(\displaystyle 8\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 8\)\(\displaystyle 18\)

 

Чтобы получить \(\displaystyle y=2(x+1)^2-3\) из \(\displaystyle y=2 x^2{ \small ,}\) надо:

  • сдвинуть график \(\displaystyle y=2x^2\) на одну единицу влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,}\)
  • сдвинуть вниз на три единицы вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .}\)

Тогда точка \(\displaystyle S \) имеет координаты \(\displaystyle (2;\,1){\small .}\)