Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии \(\displaystyle S_5{ \small ,}\) если \(\displaystyle a_4 = 1{ \small ,}\,d = 3{\small .}\)
Сначала найдем \(\displaystyle a_1{\small ,} \) воспользовавшись формулой n-го элемента арифметической прогрессии:
\(\displaystyle a_n=a_1+d(n-1){\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle a_4=a_1+3d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=a_4-3d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=1-3\cdot 3{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-8{\small .} \)
Теперь найдем \(\displaystyle S_5{ \small ,} \) воспользовавшись формулой для суммы арифметической прогрессии через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \)
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n \) первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии равна
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n \)
Или, записывая через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_n= \frac{ 2a_1+d(n-1)}{ 2 }\cdot n \)
Тогда
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+d(5-1)}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= \frac{ 2a_1+4d}{ 2 }\cdot 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_5= (a_1+2d)\cdot 5{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=-8\) и \(\displaystyle d=3{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle S_5=(-8+2\cdot 3)\cdot 5{ \small ,} \)
\(\displaystyle S_5=-10{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -10{\small .} \)