Найдем корни числителя \(\displaystyle x-2 \) и знаменателя \(\displaystyle x-3{\small : } \)

\(\displaystyle x-2=0 \) или \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=2 \) или \(\displaystyle x=3{\small .} \)

Знак неравенства строгий, поэтому точки соответствующих корней числителя и знаменателя на числовой прямой изображаются выколотыми:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) на каждом из интервалов. 
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-3}>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small.}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-2}{2{,}5-3}<0{\small .}\)
  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(4)=\frac{4-2}{4-3}>0{\small .}\)

  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-3 }> 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;2) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2) \cup(3;+\infty){\small .}\)