Заполните пробелы так, чтобы получились верные равенства:
Бином Ньютона
Если раскрыть скобки в выражении \(\displaystyle (x+a)^n\) и привести подобные слагаемые, получим:
\(\displaystyle (x+a)^n=x^n+C_n^{n-1}x^{n-1}a+C_n^{n-2}x^{n-2}a^2+\ldots+C_n^kx^ka^{n-k}+\ldots+a^n\small.\)
Нужно подставить что-то в центральную часть, чтобы получилась левая.
Формула в левой части имеет два одинаковых слагаемых без \(\displaystyle C_n^k\) – это \(\displaystyle 1=1^9\small.\) Тогда подставим в центральную часть \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 1\small.\)
По формуле бинома Ньютона получаем верное равенство:
\(\displaystyle \begin{aligned}(1+1)^9=1^9+C_9^8\cdot1^8\cdot1+C_9^7\cdot 1^7\cdot1^2+\ldots+1^9=1+C_9^8+C_9^7+\ldots+C_9^1+1=\\=1+C_9^1+C_9^2+\ldots+1\small.\end{aligned}\)
Таким образом, получаем
\(\displaystyle 1+C_9^1+C_9^2+\ldots+1=(1+1)^9=2^9=512\small.\)