Задание
В выражении слева раскрыли скобки. Заполните пробелы так, чтобы получилось верное равенство.
\(\displaystyle (x+y)^8=x^8+8x^7y+28x^6y^2+56x^5y^3+70x^4y^4+\)
\(\displaystyle \cdot x^3y^5+\)
\(\displaystyle \cdot x^2y^6+\)
\(\displaystyle \cdot xy^7+y^8\)
Решение
Если раскрыть скобки в выражении \(\displaystyle (x+y)^8\) по формуле бином Ньютона, получим:
\(\displaystyle (x+y)^8=\)
\(\displaystyle =x^8+C_8^7x^7y+C_8^6x^6y^2+C_8^5x^5y^3+C_8^4x^4y^4+C_8^3x^3y^5+C_8^2x^2y^6+C_8^1xy^7+y^8\small.\)
Биномиальные коэффициенты симметричны
\(\displaystyle C_n^k=C_n^{n-k}\small.\)
Тогда в формуле есть равные коэффициенты:
\(\displaystyle C_8^7=C_8^1,\) \(\displaystyle C_8^6=C_8^2\) и \(\displaystyle C_8^5=C_8^3\small.\)
То есть в формуле есть пары равных коэффициентов
В каждой паре один из коэффициентов известен по условию. Тогда известны все коэффициенты:
