В равнобедренной трапеции основания равны \(\displaystyle 14\) и \(\displaystyle 26\small.\) Высоты, опущенные из вершин тупых углов, делят большее основание на три отрезка. Найдите длину меньшего из полученных отрезков.
Пусть \(\displaystyle AD=26\) и \(\displaystyle BC=14\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны, \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) – высоты трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) Нам требуется найти наименьший из отрезков \(\displaystyle AH\small,\) \(\displaystyle HK\) и \(\displaystyle KD\small.\) Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K = BC= 14\small.\) |  |
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\small.\) Они равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит \(\displaystyle AH=DK\) и \(\displaystyle \begin{aligned} AH&=DK=\frac{AD-BC}{2}=\\ &=\frac{26-14}{2}=\frac{12}{2}=6\small. \end{aligned}\) |  |
Так как \(\displaystyle 6<14\small,\) то длина меньшего из полученных отрезков равна \(\displaystyle 6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small.}\)