Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 15\) и \(\displaystyle 9\small,\) один из углов равен \(\displaystyle 45^\circ\small.\) Найдите высоту трапеции.
Пусть \(\displaystyle AD=15\) и \(\displaystyle BC=9\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD.\) Проведем высоты \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK\) трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) |  |
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K =BC=9\small .\)
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит, \(\displaystyle AH=DK\) и \(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}\small,\) \(\displaystyle AH=\frac{15-9}{2}=\frac{6}{2}=3\small.\) |  |
Высоту \(\displaystyle CK \) трапеции найдем из треугольника \(\displaystyle CKD\small.\) Нам известны углы \(\displaystyle \angle CKD=90^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle KDC=45^{\circ}\small.\) Поскольку сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) то \(\displaystyle \angle KCD=180^{\circ}-\angle CKD - \angle KDC\small,\) \(\displaystyle \angle KCD=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\small.\) Значит, \(\displaystyle \angle KCD=\angle KDC \small.\) Тогда треугольник \(\displaystyle KDC\) равнобедренный, откуда \(\displaystyle CK=KD=3\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 3 \small.\)